Примеры представлений групп

Рассмотрим группу G – группу симметрий трехмерного пространства, состоящего из трех элементов: I – тождественное преобразование и Р – отражение пространства относительно начала координат.

Т.е. G = { I, P }. При этом умножение элементов задано таблицей:

1) Одномерное представление группы G.

Пусть Е ¹ – пространство представлений и е ₁ – базис. Пусть линейный невырожденный оператор А ⁽¹⁾ в этом базисе имеет матрицу А ⁽¹⁾= (1). Очевидно, это преобразование образует подгруппу в группе GL (1) причем умножение в этой подгруппе задается по правилу:

Мы получили одномерное представление D ⁽¹⁾(G) группы G

D ⁽¹⁾(I) = А ⁽¹⁾; D ⁽¹⁾(P) = А ⁽¹⁾;

2) Двумерное представление группы G. Выберем в Е ² базис { е ₁, е ₂} и рассмотрим в этом базисе матрицы преобразований: операции задаются таблицей:

Получим двумерное представление группы G с помощью соотношений: D ⁽²⁾(I) = А ⁽²⁾; D ⁽²⁾(P)= В ⁽²⁾;

Этими соотношениями определяется изоморфизм группы G на подгруппу { A ⁽²⁾; B ⁽²⁾} группы GL (2), т.е. это точное представление группы G.

1) Трехмерное представление группы G. Рассмотрим в Е ³ в базисе { е ₁, е ₂, е ₃} линейное преобразование А ⁽³⁾ с матрицей А ⁽³⁾= и законом умножения: А ⁽³⁾× А ⁽³⁾= А ⁽³⁾. Получаем трехмерное представление D ⁽³⁾(G) с помощью соотношений:

D ⁽³⁾(I) = А ⁽³⁾; D ⁽³⁾(P) = А ⁽³⁾.

4) Четырехмерное представление группы G. Рассмотрим в Е ⁴ линейные преобразования А ⁽⁴⁾ и В ⁽⁴⁾ с матрицами: . Преобразования А ⁽⁴⁾ и В ⁽⁴⁾ образуют подгруппу в GL (4) с законом умножения, аналогичным примеру 2, соотношениями: D ⁽⁴⁾(I) = А ⁽⁴⁾, D ⁽⁴⁾(P) = В ⁽⁴⁾.