Уравнение баланса числа частиц

Рассмотрим самодиффузию, поток которой даётся уравнением . Выделим объём V в виде цилиндра, площадь основания которого Δ S (рис. 3.18), а высота, направленная вдоль оси Х, равна Δ х. По определению потока, изменение числа частиц в объёме цилиндра в течение промежутка времени Δ t равно

. (3.46)

Разлагая I_{n 1} в ряд Тейлора и ограничиваясь членом, линейным по Δ х, получаем

(3.47)

следовательно, выражение (3.46) принимает вид:

. (3.48)

Тогда

, (3.49)

где Δ V = Δ S Δ х – рассматриваемый объём. Поскольку D не зависит от координат, то вместо (3.49) можно написать

. (3.50)

Это уравнение самодиффузии, зависящее от времени. Если направление диффузии не совпадает с осью Х, а имеет произвольное направление, то Δ N ₁ в формуле (3.46) представляется в виде суммы вкладов по каждой из осей координат и вместо уравнения (3.50) получаем

(3.51)

где - оператор Лапласа, обозначаемый так же буквой Δ= .