Броуновское движение. Уравнение Ланжевена

В основе этого явления лежит воздействие на систему случайной силы. Частный случай такого движения был описан Г. Броуном в 1827 г. Однако характер этого движения был понят только в XX веке.

Рассмотрим движение крупных частиц в термически однородной среде типа газа или жидкости. Термин «крупные частицы» в данном случае означает, что частицы макроскопически наблюдаемы, т.е. размер их порядка R ~ 10^-⁴ см (для зеленого света l ~ 0.5×10^-⁴ см). Этот размер и с молекулярной точки зрения является большим.

Например, для воздуха при нормальных условиях среднее расстояние между молекулами ~ 0.5×10^-⁷ см, для жидкости – на порядок меньше.

Будем считать, что известны форма, размер, масса и т.д. броуновской частицы (БЧ), а также все свойства среды.

Рассмотрим облака БЧ, полагаем, что они не взаимодействуют друг с другом. Поэтому мы вправе рассматривать какую-либо одну БЧ.

Такая крупная частица взаимодействует сразу с большим числом частиц среды и под действием общей равнодействующей совершает два типа случайных блужданий (рис.3.22):

а) флуктуации общей величины приводят к трансляционному броуновскому движению,

б) флуктуации момента равнодействующей силы – к вращательному броуновскому движению.

Математически эти процессы во многом эквивалентны, а значит, ограничимся первым типом.

Рассмотрим пространственно однородную систему (потенциал внешней силы ) и в ней – одну БЧ. Т.к. направления x, y, z эквивалентны, исследуем одномерное броуновское движение вдоль оси x.

Выделим из силы F, действующей на БЧ, ту ее часть, которая существовала бы и в отсутствие флуктуаций. Эта регулярная часть силы F представляет собой не что иное, как силу вязкого трения (которая нам известна).

Например, для сферических частиц радиуса R согласно формуле Стокса:

h - коэффициент вязкости; v, p – скорость и импульс.

Тогда точное уравнение движения БЧ можно записать в виде:

- уравнение Ланжевена (1908 г.),

- случайная часть силы, действующей на БЧ. В среднем она равна нулю:

<F(t)> = 0.

Проанализируем временные интервалы взаимодействия БЧ с окружением:

– время соударения частицы с частицей среды t ~ 10^-¹² c
(для R ~ 10^-⁴ см);

– время между отдельными взаимодействиями t ' ~ 10^-¹⁶ ¸ 10^-¹⁷ c;

– время исчезновения информации (релаксации) о начальном состоянии t_М ~ G^- ¹ ~ 10^-¹⁰ c.

При сравнении величин этих интервалов обращают на себя внимание характерные соотношения:

t' << tиt << G^{- 1}.

Уравнение Фоккера-Планка

Теперь рассмотрим трехмерную систему БЧ и будем описывать эволюцию БЧ (или идеального газа БЧ) с помощью функций распределения f в самой грубой временной шкале t >> G^-¹.

Распределение по импульсам БЧ в этой шкале является в любой момент времени максвелловским. Поэтому нас будет интересовать только функция распределения по координатам , такая, что - вероятность обнаружить частицу в объеме , причем

Т.к. частицы стабильны (нет их источников), то функция должна удовлетворять уравнению непрерывности

Введя грубую шкалу времени (включая dt >> G^-¹), t >> G^- ¹, мы фактически лишим себя возможности использовать микроскопические соображения для превращения этого соотношения в уравнение для одной функции .

Оставаясь в рамках полуфеноменологического рассмотрения, представим плотность потока как бы складывающуюся из двух частей

Первая из них обусловлена внешними силами, действующими на БЧ, вторая - случайными «флуктуирующими» воздействиями на нее со стороны частиц среды.

Для регулярной части используем представления гидродинамики (малые скорости, сферические частицы)

F _внеш. = g u ₀, g = 6p R h,

Поэтому упорядоченный поток частиц можно записать в виде

где U – потенциал внешнего силового поля.

Случайное же блуждание с макроскопической точки зрения имеет характер диффузионного процесса, поэтому диффузионный поток частиц можно записать (случай малых градиентов)

где величина D по физическому смыслу является коэффициентом диффузии БЧ данного размера, массы в среде с данной T, h и т.д.

D можно определить экспериментально, но это сложно сделать во всех случаях жизни. В связи с этим рассмотрим предел , когда система достигнет своего состояния ТД равновесия (нет потоков, все характеристики постоянны). Поэтому помимо df / dt имеем три уравнения для компонент потоков

которые можно записать в виде

Решение этого уравнения

мы могли бы предсказать заранее, т.к. идеальный газ БЧ в поле характеризуется в равновесном случае больцмановским распределением

, ().

Сопоставляя эти выражения, мы получаем, что коэффициент диффузии D просто связан с T, h и R БЧ

Подставляя это выражение в уравнение непрерывности, получим уравнение для

. (3.56)

Это и есть уравнение Фоккера-Планка (1914-1917). Дополненное условием нормировки, начальным (НУ) и граничными (ГУ) условиями, оно полностью определяет решение для искомой функции . Это решение определяет эволюцию системы на времени t >> G^- ¹, которая имеет релаксационный характер (к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации t_полн, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и БЧ, но и от начального распределения, формы и размеров сосуда и т.д.

Рассмотрим случай отсутствия внешнего поля и бесконечной одномерной системы с условием отсутствия потоков на бесконечности и НУ, соответствующими нахождению БЧ в точке :

(3.57)

Решение уравнения (3.57), удовлетворяющее начальным и граничным условиям, выглядит следующим образом:

Очевидно, что - ввиду симметрии функции :

В частности, средний квадрат смещения БЧ определяется формулой Эйнштейна

Значение полученного решения для не ограничивается только рамками рассмотренного примера. Эта функция может служить основой для получения ряда распределений по другим характеристикам свободного броуновского движения и для проведения оценок.

Оценим время заполнения БЧ сосуда конечных размеров. С математической точки зрения время такой релаксации равно . Речь идет о физической оценке эффективного времени релаксации.

Рассмотрим сначала одномерную систему, в которой движение БЧ ограничено стенками, так что . Если бы , то эффективный размер облака БЧ определялся бы формулой Эйнштейна

Если бы на расстоянии от точки по обе стороны стояли стенки, то внутри системы за это время мы получили бы достаточно равномерное распределение БЧ. Поэтому и полагают, что время полной релаксации в слое имеет величину .

В двумерном случае (БЧ в плоской кювете радиусом ) формула Эйнштейна имеет вид:

Аналогично в трехмерном случае:

Полученная оценка груба, но универсальна, т.к. не зависит от формы сосуда.

Таким образом, эволюцию БЧ можно представить как последовательность характерных ее этапов:

1) - механическая шкала времени, – время корреляции случайного взаимодействия . Описание эволюции системы – задача теоретической механики о столкновении многих частиц. Движение полностью детерминировано.

2) – первая грубая шкала времени, детали воздействия среды на частицу смазаны. В качестве динамических ее параметров выступают усредненные по величины.

3) При устанавливается максвелловское распределение по импульсам, и . ГУ несущественны.

– вторая грубая шкала времени. Случайные блуждания БЧ приобретают характер диффузионного процесса. Частица в этом случае не имеет памяти (в механическом смысле) о своей скорости (распределение – максвелловское).

Такие процессы называются марковскими (будущее системы определяется только настоящим и не зависит от ее предыстории). Эволюция системы определяется уравнением Фоккера-Планка. ГУ и НУ существенны.