Алгебра событий

Пусть W - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события A выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт наступление A. Будем говорить, что эти элементарные события благоприятствуют появлению A. Множество этих элементарных событий обозначим тем же символом A, что и соответствующее событие.

Таким образом, событие A состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество A. Другими словами, мы отождествляем событие A и соответствующее ему множество A элементарных событий.

Введём теперь ряд понятий и определений.

Назовём событиедостоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Но тогда ему благоприятствует любое wÎW и в силу заключённого договора будем обозначать достоверное событие тем же символом W.

Невозможным назовём событие, не наступающее ни при каком элементарном событии, но тогда ему соответствует пустое множество, и поэтому невозможное событие будем обозначать символом Æ.

Пример. В опыте с кубиком достоверным является событие, что выпадет число, меньшее 7. Невозможным – выпадет отрицательное число.

Суммой (или объединением) двух событий A и B назовём событие A + B (или A È B), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или A, или B. Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В.

Отметим очевидные соотношения: A+ Æ =A, A+ W = W, A+A=A.

Пример. Событие “выпало четное” является суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6.

Произведением (или пересечением) двух событийA и B назовём событие AB (или A Ç B), которое происходит тогда и только тогда,когда происходит и A, и B. Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств A и B.

Отметим очевидные соотношения: A Æ = Æ, A W = A, AA = A.

Пример. “Выпало 5” является пересечением событий: выпало нечетное и выпало больше 3-х.

Два события назовём несовместными, если их совместное появление в одном и том же опыте невозможно. Следовательно, если A и B несовместны, то их произведение - невозможное событие: AB = Æ.

Введённые ранее элементарные события, очевидно, попарно несовместны - w_iw_j= Æ при i ¹ j.

Пример. Выпало четное число и выпало нечетное число – события несовместные.

Событие назовём противоположным к , если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит.

Отметим очевидные соотношения: .

Пример. Выпало четное число и выпало нечетное число – события противоположные.

Разностью событий A и B назовём событие A\B, происходящее тогда и только тогда, когда происходит A, но не происходит B.

Отметим очевидные соотношения: .

Поскольку разность событий можно выразить с помощью операций отрицания и произведения, пользоваться разностью событий в дальнейшем не будем.

Таким образом, операциям над событиями соответствуют аналогичные операции над множествами.

Введённые выше операции сложения и умножения обладают следующими свойствами:

.

Пример. Производится два выстрела по цели. Пусть событие A - попадание в цель при первом выстреле и B - при втором, тогда и - промах, соответственно, при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием C и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить C через A и B.

Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Используя введённые выше операции, перечисленные варианты можно, соответственно, записать: и . Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть

.

С другой стороны, событие , противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть , отсюда искомое событие С можно записать в виде .

Возможность различного выражения искомого события часто оказывается полезной при решении задач.

Для понимания введённых понятий полезна геометрическая интерпретация: представим пространство элементарных событий W в виде квадрата, каждой точке которого соответствует элементарное событие. Тогда случайные события будут изображаться в виде некоторых фигур, лежащих в этом квадрате.

На рис. 1.1. заштрихованные фигуры представляют:

Рис. 1.1.

Рассмотрим пространство элементарных событий W, соответствующее некоторому стохастическому эксперименту, и пусть F - некоторая система случайных событий. Систему событий F назовём алгеброй событий, если выполняются условия: WÎ F; из того, что A Î F, следует, что Î F; из того, что A и B Î F, следует, что AB и A + B Î F. Отсюда следует, что, применяя любые из введённых выше операций к произвольной системе событий из F, получим событие, также принадлежащее F.