Основные свойства преобразований Фурье

Для удобства введем обозначение взаимного соответствия между временным и спектральным представлением сигнала:

,

где F(jw) - прямое преобразование Фурье функции x(t);

x(t) - обратное преобразование Фурье спектральной функции F(jw).

Преобразования выполняются по формулам (2.4.6) и (2.4.7).

1. Условие существования интегрального преобразования Фурье.

,

т. е. функция x(t) должна быть абсолютно интегрируемой. Это условие является достаточным, но не необходимым. Существуют функции абсолютно неинтегрируемые, но имеющие преобразование Фурье. Для них преобразование Фурье получают в результате предельного перехода.

2. Принцип суперпозиции.

Если , где k= 1, 2, 3,..., n, то

,

т.е. спектр суммы функций равен сумме спектров слагаемых. Преобразование Фурье - линейная операция.

3. Свойство изменения масштаба.

Если , то ,

где q - действительная постоянная величина.

Доказательство:

Обозначим . Отсюда следует

.

Таким образом, при изменении масштаба времени в q раз масштаб частот для спектра меняется в 1/q раз. Значит, увеличение длительности сигнала приводит к сужению его спектра. И наоборот, чем короче сигнал по времени, тем шире его спектр.