Исследование сигналов с помощью преобразований Лапласа

Для разложения в ряд Фурье периодические и непериодические функции должны удовлетворять условию абсолютной интегрируемости:

Однако, на практике встречаются важные функции, не удовлетворяющие этому требованию, например, функция Хевисайда 1(t), или пакет из нескольких колебаний, включенных на некоторое время.

Для осуществления спектрального анализа таких функций используются различные приемы. Наиболее распространенный из них - это введение множителя сходимости, когда неинтегрируемая функция приближенного заменяется похожей интегрируемой, в пределе стремящейся к требуемой.

Например, функция 1(t) заменяется плавным экспоненциальным переходом и получается одиночный импульс, кото - рый раскладывают в ряд Фурье. Затем совершают предельный переход - s®0, e^-siº1 при всех t, а t³0. В таком виде этот метод не является общим для всех функций.

Развитием этого метода в свете разложения Фурье, является переход к комплексной частоте: вместо частоты w вводится параметр p=s+jw, при этом параметр s, как увидим позднее, является параметром множителя сходимости: e^-si. Для удобства реализации такого перехода примем, что функция сигнала S(t), определенная при ¥>t³-¥, состоит из двух функций:

(33)

где S₊(t) определена при t>0,

а S_-(t) - при t<0.

Обращаясь к паре преобразований Фурье (35) и (36) совершим переход от w к P сначало для функции S₊(t). Для этого домножим S₊(t) на e^-s1i, где s₁>0 выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции S₊(t) в пределах 0<t<¥.

Тогда после подстановки p=s₁+jw выражение (35) можно привести к виду

S₊(t)

откуда

S₊(t) = (40)

где (41)

Выражение (41) называется преобразованием Лапласа функции S₊(t) (или прямым преобразованием Лапласа).

Соотношение (40) по аналогии с выражением (35) часто называют обратным преобразованием Лапласа.

Для функции S_-(t) все точно также. Для всей функции

S(t)=S₊(t)+S_-(t)

L_S(p)=L_S+(p)+L_S-(p) (40)

и S(t) (43)

Пара соотношений (42) и (43) называются двухсторонними преобразованиями Лапласа.

Введение множителя сходимости р позволяет изменить путь интегрирования функции S(t) так, что ее полюса (точки, где ) оказываются внутри контура интегрирования и не влияют на величину интеграла.

Метод преобразования Лапласа широко применяется в теории сигналов при спектральном анализе неинтегрируемых функций.

Л6