Теорема отсчетов в частотной области

При анализе сигналов с непрерывными спектрами часто бывает необходимо представить сигнал с помощью частотных выборок спектральной функции , а не временных выборок функции S(t).

Для функции можно составить ряд, аналогичный выражению (44), на основании взаимной заменяемости переменных t и w в паре преобразований Фурье (36), (37). Применительно к выражению (44) это означает, что t следует заменить на w, 2W=2pF на Т, Dt=1/2F на Dw=2p/ T.

Таким образом получаем

(47)

Расстановка частотных выборок иллюстрируется следующим рисунком.

Если ранее временной интервал между двумя соседними выборками не должен был превышать 2p/2W, то теперь частотный интервал не должен превышать 2p/T. При ширине спектра 2W, охватывающей область частот -W<W<W, число выборок равно 2 W/Dw =2FT, т.е. как и при представлении сигнала рядом (44).

В общем случае выборки являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра - действительная и мнимая части , или модуль и аргумент. Таким образом общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки S(k/2F) - действительные числа. Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что и являются комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую. Таким образом, спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, взятых только в области положительных частот, и число независимых параметров n=2FT, как и при представлении сигнала во временной области.