Сигналы с ограниченными и полосовыми спектрами

С целью упрощения задач анализа сигналов в инженерных расчетах учитывают только ту часть спектра, в которой сосредоточено до 80...95% энергии сигнала. Поэтому чаще всего большинство сигналов рассматривают как сигналы с ограниченными спектрами. Для их анализа наряду с разложением Фурье широко применяют разложение Котельникова.

Рассмотрим основные особенности этого разложения.

Ортогональное разложение Котельникова для непрерывных сигналов с ограниченными спектрами позволяет представлять их в виде импульсных последовательностей (см. рис.) Теоретической основой разложения служит теорема Котельникова (теорема отсчетов): любая непрерывная функция S(t), не содержащая частот выше F, полностью определяется последовательностью значений в моменты, отстоящие друг от друга на время Dt=1/2F.

Общее число отсчетов n для сигнала длительностью Т будет равно n=T/Dt=2FT=n. Число n называют базой сигнала.

Для сигнала S(t), спектр которого лежит в интервале [0,F], ортогональное разложение Котельникова имеет вид

(44)

где S(kDt)=S_k - отсчет сигнала в момент времени t_k; [sin2pF(t-kDt)]/[2pF(t-kDt)] - базисная система ортогональных функций с общей нормой 1/2F; Dt=1/2F -интервал дискретизации, равный норме базисных функций. Функция g_k=[sin2pF(t-kDt)]/[2pF(t-kDt)] называют функциями отсчетов, а значения S(kDt) - отсчетами. График функции отсчетов имеет следующий вид (см. рис.).

Ортогональность функций отсчетов проверяют путем вычисления интеграла

Интервал дискретизации не превышает половины периода наиболее высокой частоты спектра сигнала, что уменьшает число членов в данном разложении по сравнению с разложением Фурье при одинаковой точности аппроксимации. Точность аппроксимации так же как и в случае разложения Фурье определяется равенством (12). При этом мощность сигнала, через заданную последовательность временных выборок, выражается равенством Парсеваля (формула (8)):

- энергия сигнала Е= (45)

- мощность сигнала за период колебания

P = . (46)

Из последнего выражения следует, что средняя за период Т мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборки. Усреднение производится по всем интервалам, число которых 2FT.

Достоинства ортогонального разложения Котельникова следующие: базисная система ортогональных функций выбрана так, что ряд (44) носит формальный характер, т.е. в любой момент отсчета t_k он дает одно значение S_k, остальные составляющие ряда вырождаются в нуль; коэффициенты ряда (44) можно не вычислять; их определяют путем измерения значений сигнала или из его аналитической формы; зная длительность сигнала Т и граничную частоту F, определяют требуемое число отсчетов n=2FT и энергию сигнала из (45); относительная простота реализации как разложения (т.е. дискретизации) непрерывного сигнала в импульсную последовательность, так и последующего его восстановления.

Остановимся более подробно на последней особенности. Для этого рассмотрим физический смысл разложения Котельникова. Каждый член суммы (44) представляет собой отклик идеального фильтра нижних частот g_k (см. рис.) с частотой среза F на очень короткий импульс, приходящий в момент t_k=kDt и имеющий площадь S(kDt). Поэтому при дискретной передаче сигнала S(t) с ограниченным спектром необходимо через равные интервалы времени Dt брать отсчеты мгновенных значений сигнала и передавать по каналу последовательность достаточно коротких импульсов длительностью t, причем t/Dt<<1. Амплитуду импульсов A_k в момент времени t_k=kDt выбирают так, чтобы A_kt=S(kDt)=S_k. В приемном устройстве выделенная последовательность видеоимпульсов пропускается через фильтр нижних частот, на выходе которого восстанавливается переданный непрерывный сигнал. Длительность импульсов t может быть сколь угодно малой, но выбирают ее исходя из полосы прозрачности канала связи. Частота дискретизации (тактовая частота) равна 2F.