Особенности спектрального представления непериодических сигналов

а) Разложение в ряд Фурье.

Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t₁ до t₂. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t) (рис. a). Поскольку не известен период повторения, то непосредственно в ряд Фурье по дискретным составляющим колебание S(t) разложить нельзя. Чтобы разрешить эту проблему функцию S(t) следует представить в виде периодического колебания V(t) c периодом T®¥ (рис. б). В этом случае V(t) и S(t) cвязаны между собой соотношением

(30)

Формула (30) - есть представление непериодического колебания S(t) в виде периодического колебания V(t).

Последнее уже может быть представлено рядом Фурье, например, с помощью экспоненциальных функций комплексного аргумента:

, (31)

где (32)

.

С учетом (31) и (32) из (30) имеем:

(33)

Ряд (33) определяет периодическую функцию V(t), полученную повторением функции S(t) c периодом T. Если период образованной последовательности T®¥, то все импульсы, кроме исходного, “уйдут” в бесконечность и периодическая последовательность V(t) станет одиночным импульсом S(t). Это означает, что предел левой части (33) при T®¥ есть функция S(t):

(34)

Рассмотрим правую часть (34) при T®¥. Очевидно, что частота основной гармоники ряда Фурье будет стремиться к нулю, т.к. w₀=2p/T, а T®¥. При этом соседние спектральные составляющие ряда Фурье будут сближаться и при T®¥ станут сколь угодно близкими друг к другу (w_k+1-w_k=w₀®0), т.е. дискретный спектр станет сплошным. Поэтому в формуле (33) можно заменить w_k на текущую частоту, w, w₀ - на ¶w, а сумму на интеграл. Таким образом, при T®¥ от ряда Фурье в виде (33), переходим к двойному интегралу и с учетом (34) запишем:

(35)

Внутренний интеграл обозначают обычно

(36)

и называют спектральной плотностью или спектральной характеристикой непериодического сигнала. Как видно она зависит только от формы сигнала S(t). Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье и она позволяет по форме сигнала определить его спектральную характеристику.

С учетом (36) из (35) получаем

(37)

Эту формулу называют обратным преобразованием Фурье. Она позволяет по форме спектральной характеристики восстанавливать исходный сигнал.

Формулы (36) и (37) называют еще парой преобразований. Фурье и в этом случае обозначают: Û .

Комплексная функция может быть записана в виде . Модуль спектральной плотности S(w) называют АЧХ непериодического сигнала, а фазу j(w) - его ФЧХ.

По физическому смыслу величина 2S(w) есть амплитуда колебания с частотой w отнесенная к полосе частот в 1Гц. Т.к. формулы коэффициентов ряда Фурье и спектральной плотности отличаются только множителем 1/T, то модуль спектральной плотности импульса и огибающая дискретного сигнала периодической последовательности таких импульсов совпадают по форме.

б) Распределение энергии в спектре непериодического колебания.

Раньше для периодического колебания мы ввели понятие средней мощности, определяемой как количество энергии, приносимой сигналом за конечный интервал времени или период колебания. Если же колебание непериодическое, то его период T®¥ и средняя мощность такого колебания равна нулю. Поэтому для характеристики непериодических колебаний вводят другую величину - спектральную плотность энергии колебания, т.е. энергии, приходящейся на единицу полосы частот.

Для вывода соотношения для спектральной плотности воспользуемся соотношением, которое устанавливает связь между произведением двух сигналов f(t) и g(t) и их спектральными плотностями, соответственно и . В математике оно известно как теорема Парсеваля, согласно которой “если интегралы и существуют, то где - величина, комплексно - сопряженная ”.

Предположим теперь, что f(t) и g(t) представляют собой одно и то же колебание S(t), т.е.

f(t)=g(t)=S(t)

В соответствии с формулой (8) интеграл Э

определяет энергию колебания S(t), а произведение спектральных плотностей сигнала

равно квадрату модуля спектральной плотности этого колебания. С учетом теоремы Парсеваля приходим к соотношению для энергии непериодического колебания:

Э (38)

Это соотношение устанавливает связь между энергией непериодического колебания и модулем его спектральной плотности. По аналогии с формулой (8) его называют равенством Парсеваля.

Величину (1/p)S²(w)=dЭ/dw называют спектральной плотностью энергии колебания (имеет смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот).