Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра

Для определения формы сигнала на выходе используем общее выражение

Подставив в него (19) получим

(28)

(t=t₀ момент времени, когда сложение всех компонентов спектра выходного сигнала, по фазе, дает max выходной сигнал).

При t=t₀ правая часть этого выражения переходят в энергию входного сигнала:

(29)

где Э - энергия входного сигнал.

С другой стороны, из первой части (28), в которой фигурирует произведение , вытекает, что S_ВЫХ(t) можно представить как свертку следующих двух функций времени: S(t) и S(t₀-t). Таким образом, получаем

Пологая , получаем

(30)

где x и y имеют смысл времени на интервале, где S(t) и S(t₀-t) существуют одновременно.

Интеграл в правой части (30) является автокорреляционной функцией входного сигнала - B_S(t-t₀).

Таким образом, приходим к важному выводу, что

(31)

т.е., что сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента А совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала.

Для составления функции S_ВЫХ(t) на заданной функции B_S(t) достаточно в последней t заменить на (t-t₀) и учесть коэффициент А. При t=t₀, т.е. при t=0, величина B_S(0) равна энергии сигнала. Следовательно, как и при спектральном рассмотрении, пиковое значение сигнала (сравнить с (29))

Рассмотрим теперь параметры и статические характеристики шума на выходе согласованного фильтра. При действии белого шума закон распределения его плотности вероятности на выходе линейного фильтра остается таким же, как и на входе. Энергетический спектр шума на выходе фильтра равен

Следовательно, корреляционная функция шума на выходе согласовано фильтра

Подставляя K(w)=AS(w) и учитывая (28) и (31), в которых примем t-t₀=t, получаем

(32)

Отсюда следует, что корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с корреляционной функцией входного сигнала (и, следовательно, с выходным сигналом).

Приравнивая t=0, находим дисперсию (среднюю мощность) шума на выходе

(33)

Составим отношение пикового значения сигнала S_ВЫХ(t₀) к среднеквадратическому значению шума - . В соответствии с формулами (29) и (33)

(34)

Итак, при белом шуме отношение сигнал-шум на выходе фильтра, согласованного с сигналом, зависит только от энергии сигнала и энергетического спектра шума W₀. Из этого заключения следует, что при заданных энергии и ширине спектра сигналу можно придавать различную форму, выгодную для решения конкретной задачи. при этом амплитуда А₀ и длительность сигнала Т_С связаны очевидным соотношением

А₀²Т_С=const

При измерении длительности сигнала следует обеспечить неизменной ширину его спектра. Это можно осуществить, введя внутриимпульсную модуляцию (частотную или амплитудную).

Л. 31-34.