Определим дискретный сигнал xд(t) через совокупность отсчетов непрерывной функции x(t):
x(k)=x(t=kΔ) (1)
Тогда сам дискретный сигнал можно записать в виде модели:
xд(t)=x(t)fn(t), (2)
где безразмерная периодическая (с периодом Δ)
решетчатая функция.
Покажем, что дискретный сигнал (1) имеет спектр по Фурье вида:
(3)
где Śx(f) - спектр исходного непрерывного сигнала x(t). Из (3) следует, что спектр дискретного сигнала повторяется с периодом частоты дискретизации Fд (см. рис.).
АЧХ ФНЧ Sxд(f) спектр исходного сигнала
Sx(f)
f
0
Fд Fд
-Fв +Fв
Амплитудный спектр первичного дискретного сигнала
Из математики известно (задача Парсеваля), что спектр Фурье от произведения двух функций определяется сверткой спектров сомножителей
где Śfn(f) -- спектр по Фурье периодической функции fn(t) c периодом Δ, которую представили комплексным рядом Фурье:
(при интегрировании учтено фильтрующее свойство δ-функции).
|
|
Спектральная плотность периодической функции
определяется суммой δ-функций:
С учетом (5) интегрирование (4) дает результат (3). Из спектра (3) можно без искажений восстановить спектр Śx(f), следовательно, и сам непрерывный сигнал x(t) только при условии, если отдельные копии спектра Śx(f-kFд) взаимно не пересекаются (см. предыдущий рис.). Это возможно, если Fд > 2Fв (или Δ < 1/2Fв). Восстановление осуществляют фильтром нижних частот, АЧХ которого показана на предыдущем рисунке пунктирной линией. Реализация такого фильтра тем проще, чем сильнее выполняется неравенство Fд > 2Fв.
Спектр дискретного сигнала можно определить не только по формуле (3), но и путем непосредственного применения прямого преобразования Фурье к функции (1). Это дает следующий результат:
Определим теперь спектр Фурье дискретного финитного
(непериодического) сигнала, определенного на интервале (0;Т). Такой финитный сигнал можно записать в виде:
Спектр сигнала (7) можно найти, если его периодически продолжить направо и налево с периодом Т. Тогда получаем периодический сигнал Хд пер(t) совпадающий с Хдф(t) на интервале (0;Т), для которого комплексные амплитуды Ćn можно получить из (6) при ω=2πn/Т суммированием от k=0 до k=N-1 и с учетом сомножителя 1/Т:
Формула (8) определяет коэффициенты дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Из нее следует, что при заданных N отсчетах x(k) существует N коэффициентов ДПФ (n=0,1,2,3,…,N-1). Коэффициент
определяет постоянную составляющую. При четном N из (8) следует для вещественных x(k):
|
|
т.е. коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N/2, образуют комплексно-сопряженные пары. Можно считать, что коэффициенты ĆN/2, ĆN/2+2,…CN-1 соответствуют отрицательным частотам. Число же амплитуд, образующих спектр ДПФ равно N/2. Это следует из теоремы отсчетов Котельникова при Δ=1/2Fв. При таком условии спектр xдпер(t) содержит Fв/(1/Т)=Т(2Δ)=N/2 амплитуд.
При заданных Ćn (n=0,1,2,3,…N-1) функцию x(k) можно определить с помощью обратного преобразования Фурье (ОДПФ), представляя периодическую функцию xпер(t) c периодом Т рядом Фурье:
Положив в (10) t=kΔ, получаем ОДПФ:
Как прямое, так и обратное преобразование Фурье линейны.