Временные и спектральные методы исследования линейных стационарных цифровых фильтров

Подобно тому, как отклик аналоговой линейной стационарной системы y(t) на произвольное внешнее воздействие x(t) можно найти временным методом через импульсную характеристику системы g(t)

или спектральным методом через комплексный коэффициент

передачи цепи, так и отклик линейного стационарного цифрового фильтра y(n) на произвольное внешнее воздействие x(n) можно найти через импульсную характеристику ЦФ g(n) или спектральным методом.

Выполнив в (19) дискретизацию по переменным t и t, положив t=kD, t=mD, получаем цифровой аналог свертки (19):

где g(), =0,1,2,…,L – отсчеты импульсной характеристики ЦФ, т.е. отклика на единичный импульс (1,0,0,0,0,0,…), поступающий на вход фильтра в момент времени t=0. Из условий реализуемости ЦФ надо принять

g(- )=0, =1,2… (21)

Если входные отсчеты x(k) начинают поступать в момент t=0, то можно написать

Из условия реализуемости ЦФ (21) следует, что суммирование в (22) фактически выполняется только при k£m:

Если число входных отсчетов x(0), x(1),…,x(N-1) равно N, а число отсчетов импульсной характеристики ЦФ (g(0), g(1),…,x(L)) равно (L+1), то в (23) m принимает значения 0,1,2,…,N_S-1 (N_S=N+L). Для нахождения одного значения y(m) в соответствии с (23) надо выполнить не более чем (L+1) операций умножения. Для нахождения всех значений y(m) надо выполнить примерно операций умножения.

Число операций можно существенно сократить, если использовать спектральный метод расчета ЦФ и методы БПФ. Чтобы это показать, напишем сначала дискретную свертку (23) в нормированном виде:

Дополнив последовательность из N входных отсчетов x(k) L нулями, представим x(k) через ОДПФ:

Дополнив последовательность из (Q+1) отсчетов импульсной характеристикой ЦФ (N+1) нулями, определим ОДПФ:

где - коэффициенты ДПФ для импульсной характеристики ЦФ.

Подставляя (25) и (26) в (24), получаем:

Справедливо условие

Равенство суммы N при n= очевидно. Равенство же суммы нулю при n ¹ объясняется тем, что в этом случае имеем сумму единичных векторов, образующих в совокупности правильный N-угольник. Сумма эта, естественно, равна нулю.

С учетом (28) формула (27) принимает вид

Уравнение (29) определяет ОДПФ выходных отсчетов ЦФ, если ДПФ над этими отсчетами определяется произведением ДПФ входных отсчетов и отсчетов импульсной характеристики фильтра:

Если методами БПФ найти спектральные компоненты

а затем и ОДПФ от их произведения, то можно при больших N существенно экономить в вычислительных операциях по сравнению с непосредственными вычислениями y(m) по формуле дискретной свертки.