2015-05-06
1948
Основной характеристикой ЛДС в частотной областиявляется фурье-изображение импульсной характеристики 
, которое определяется по формуле прямого преобразования Фурье
, (1.61)
или для нормированных частоты и времени:
. (1.62)
При известном фурье-изображении 
импульсная характеристика находится с помощью обратного преобразования Фурье
,
где 
называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ) или коротко частотной характеристикой (ЧХ); это математическое определение ЧХ.
Определим ЧХ подобно тому, как это делается для линейных аналоговых систем, относительно которых известно, что гармоническое воздействие вызывает гармоническую реакцию той же частоты, но (в общем случае) другой амплитуды и начальной фазы.
Рассмотрим реакцию ЛДС на дискретное комплексное гармоническое воздействие
(1.63)
с амплитудой и фазой соответственно
; 
.
Для вычисления реакции воспользуемся формулой свертки (1.13)
откуда с учетом определения ЧХ (1.62)
.
На основании этого частотную характеристику можно представить как отношение
|
|
|
(1.64)
и определить следующим образом.
Частотной характеристикой (ЧХ) 
ЛДС называется частотная зависимость отношения реакции к дискретному гармоническому воздействию в установившемся режиме.
Подчеркнем, что отношение (1.64) справедливо исключительно для гармонического воздействия и установившегося режима работы ЛДС.
Поясним, смысл «установившегося режима». Теоретически, область изменения гармонического воздействия 
. Однако на практике имеют дело с условно гармоническим воздействием в области 
, где время 
соответствуют началу воздействия. В течение времени 
ЛДС работает в режиме переходныхколебаний. Спустя время 
процесс устанавливается и реакция становится периодическим сигналом, поэтому в данном случае имеет смысл говорить о реакции как о гармоническом сигнале в установившемся режиме.
Комплексную функцию 
можно выразить через ее модуль и аргумент:
. (1.65)
Модуль частотной характеристики называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)
, (1.66)
а аргумент – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) ЛДС
. (1.67)
Поясним смысл АЧХ и ФЧХ, для чего перепишем выражение для реакции, подставив в него воздействие (1.63) и ЧХ (1.65):
(1.68)
откуда следует, что реакция на комплексный гармонический сигнал есть тоже комплексный гармонический сигнал той же частоты, что и воздействие, но с частотно-зависимыми амплитудой
и фазой
.
Сопоставив выражения для реакции (1.68) и воздействия (1.63), дадим определения АЧХ и ФЧХ.
Амплитудно-частотной характеристикой ЛДС 
называется частотная зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме:
|
|
|
.
Фазочастотной характеристикой ЛДС 
называется частотная зависимость разности фаз реакции и дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме:
.
