Основной характеристикой ЛДС в z -областиявляется z -изображение импульсной характеристики
, (1.41)
которое определяется по формуле прямого Z-преобразования (1.22)
. (1.42)
При известном z -изображении импульсная характеристика находится с помощью обратного Z -преобразования
, (1.43)
где называют передаточной функцией (ПФ) ЛДС; это математическое определение ПФ.
Соотношение вход/выход ЛДС во временной области описывалось с помощью формулы свертки, либо в виде разностного уравнения. Рассмотрим поочередно их отображение в z -области.
Формуле свертки (см. п. 1.3.1)
в z - области соответствует уравнение (см. п. 1.4.1)
, (1.44)
где и – z -изображения воздействия и реакции.
На основании (1.44) передаточную функцию можно представить как отношение
, (1.45)
которое позволяет ее определить подобно передаточной функции линейных аналоговых систем.
Передаточной функцией ЛДС называется отношение
z-изображения реакции к z-изображению воздействия при нулевых начальных условиях.
Данное определение ПФ не противоречит приведенному математическому (1.42). Действительно, согласно определению, импульсная характеристика есть реакция на воздействие в виде цифрового единичного импульса .
Подставив z -изображения данных воздействия и реакции в (1.45) и учитывая, что (см. табл. 1.4), получим определение ПФ (1.42):
.
Разностному уравнению (1.15)
в z - области соответствует уравнение, которое можно получить, выполнив Z -преобразование правой и левой частей РУ:
.
Используя свойства Z -преобразования (линейность и теорему о задержке), запишем
,
откуда после приведения подобных имеем алгебраическое уравнение
. (1.45а)
Разделив обе части этого уравнения на , получим передаточную функцию общего вида
. (1.46)
ПФ (1.46) представляет собой дробно-рациональную функцию, числитель и знаменатель которой являются многочленами относительно порядков и соответственно с вещественными коэффициентами и . Следовательно, ПФ зависит исключительно от внутренних параметров ЛДС (см. п. 1.3.2) и не зависит ни от воздействия, ни от реакции.
Порядком ПФ называют наибольшее из чисел и . Здесь и далее полагаем, что порядок многочлена числителя не превосходит порядка многочлена знаменателя:
.
Передаточные функции 1-го и 2-го порядков описывают простейшие ЛДС, называемые звеньями 1-го и 2-го порядков соответственно.
Как любая дробно-рациональная функция, ПФ (1.46) характеризуется своими особыми точками (полюсами) и нулями.
Нулями ПФ называют значения z, при которых оказывается равной нулю.
Особыми точками (полюсами) ПФ называют значения z, при которых знаменатель оказывается равным нулю [1].
Картой нулей и полюсов называют изображение координат нулей (кружочками °) и полюсов (звездочками *) на комплексной z -плоскости. Как будет показано (см. пп. 1.5.5–1.5.6), такая карта является весьма важной графической характеристикой ЛДС.
1.4.3. Взаимосвязь передаточной функции
и разностного уравнения
Из сравнения передаточной функции (1.46) и соответствующего ей разностного уравнения (1.15) легко видеть, что:
- многочлен числителя ПФ связан с отсчетами воздействия ; при этом величина задержки i отсчета отображается степенью , а коэффициенты остаются неизменным; символически это соответствие можно записать следующим образом:
, ;
- многочлен знаменателя ПФ связан с отсчетами реакции и , при этом свободный член всегда равен 1:
,
так как в РУ он соответствует реакции (см. п. 1.4.2);
величина задержки k отсчета отображается степенью , а коэффициенты меняют знак; символически это соответствие можно записать следующим образом:
.
Пример 1.7. Дана передаточная функция общего вида. Записать соответствующее ей разностное уравнение:
- для звена 1-го порядка (числитель и знаменатель ПФ – многочлены 1-го порядка):
передаточной функции
(1.47)
соответствует разностное уравнение
; (1.48)
- для звена 2-го порядка (числитель и знаменатель ПФ – многочлены 2-го порядка):
передаточной функции
(1.49)
соответствует разностное уравнение
. (1.50)
Звено называют базовым, если числитель его передаточной функции равен 1.
ПФ базовых звеньев 1-го и 2-го порядков имеют вид соответственно:
; .
1.4.4. Передаточная функция
и импульсная характеристика звена 2-го порядка
Упрощенная методика определения импульсной характеристики по заданной передаточной функции предполагает, что взаимосвязь между ИХ и ПФ базовых звеньев известна из таблицы соответствий (см. табл. 1.4), в предположении, что:
– передаточная функция базового звена;
– импульсная характеристика базового звена.
Следовательно, передаточной функции базового звена 1-го порядка
соответствует импульсная характеристика
,
а передаточной функции базового 2-го порядка
соответствует импульсная характеристика
, (1.51)
где и j – радиус и угол комплексно-сопряженных полюсов
. (1.52)
Значения и j*и и связаны между собой соотношениями (см. табл. 1.4)
; (1.53)
. (1.54)
Напомним (см. рис. 1.11), что угол полюса j есть нормированная частота .
Здесь и в дальнейшем будем использовать индексы звездочка и кружок для обозначения полюса и нуля соответственно.
Для записи ИХ небазового звена 2-го порядка достаточно воспользоваться свойствами линейности Z -преобразования и теоремой о задержке.
Тогда передаточной функции небазового звена 2-го порядка
будет соответствовать импульсная характеристика небазового звена 2-го порядка
(1.55)
или с учетом нулевых начальных условий