2015-05-06
345
Две вещественные функции g(x) и h(x), заданные на конечном или бесконечном интервале (a<x<b), называются ортогональными друг другу на этом интервале, если
При этом функции предполагаются конечными либо бесконечными, но обязательно с абсолютно сходящимся интегралом. Интеграл называется абсолютно сходящимся если
.
Система функций называется ортогональной на некотором интервале, если каждые две функции из этой системы ортогональны друг другу на этом интервале.
Пусть задана система функций
g1(x),g2(x),…,gn(x) (2.1)
ортогональная на некотором интервале (a<x<b).
Может возникнуть задача о разложении произвольной функции f(x) на этом интервале в ряд по функциям (2.1), т.е. в ряд вида
, (2.2)
где an – числовые коэффициенты. При этом возникают вопросы: возможно ли разложение для любой функции f(x) и как найти коэффициенты an.
Будем считать для простоты все рассматриваемые функции, а также интервал конечным. Ответ на первый вопрос зависит от выбора системы, по которой мы будем производить разложение. Если разложение возможно для любой функции f(x), то система функций называется полной [6].
Перейдем теперь к нахождению коэффициентов an разложения, причем будем считать, что ни одна из функций (2.1) не равна тождественно нулю. Для этого умножим обе части уравнения (2.2) на gn(x) и проинтегрируем результат по интервалу (a<x<b).
В силу ортогональности системы (2.1), в правой части последнего равенства все интегралы равны нулю, за исключением интеграла от gn2(x), и мы получаем формулу для коэффициентов
(n=1,
