Периодические сигналы могут быть описаны в виде суммы (или суперпозиции) гармонических составляющих или гармоник, каждая из которых имеет определённую частоту, амплитуду и начальную фазу. Конкретный набор таких составляющих будет определяться видом сигнала . Для того, чтобы такое представление можно было бы осуществить, фрагмент сигнала на периоде должен удовлетворять условиям Дирихле, т.е.:
1) не должно быть разрывов II рода;
2) число разрывов I-го рода (или скачков) должно быть конечным;
3) число экстремумов должно быть конечным.
При соблюдении этих требований периодический сигнал может быть представлен в виде ряда Фурье:
, (2.4)
где – круговая частота или период повторения сигнала;
– постоянная составляющая сигнала;
;
;
– -я частотная составляющая сигнала или -я гармоника.
Заметим, что пределы интегрирования могут быть и другими, например, от 0 до – важно, чтобы охватывался бы лишь весь период сигнала .
Если – чётная функция (это значит, что ), то все и, наоборот, если – нечётная функция (), то все .
|
|
Такое разложение можно записать в тригонометрической форме:
, (2.5)
где – амплитуда -й гармоники;
– начальная фаза.
При этом если – чётная, то и если – нечётная, то .
Множество амплитуд гармоники называют амплитудным спектром, а множество фаз – фазовым спектром.
Если – действительная функция, то:
.
Пример: Пусть исходный сигнал представляет собой последовательность прямоугольных импульсов с постоянным периодом Т (рис. 2.1).
Рис.2.1. Последовательность прямоугольных импульсов
Т.к. такой сигнал чётный, то надо определить
– скважность; ;
– коэффициент заполнения (duty cycle);
Амплитудный спектр подобного сигнала показан на рис.2.2..
Рис.2.2. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов.
Амплитудный и фазовый спектры периодических сигналов дискретны, т.е. определены на фиксированных частотах