Интегральное преобразование Фурье

Непериодический сигнал может быть в частотной области описан с помощью прямого интегрального преобразования Фурье, однако он для этого должен удовлетворять следующим требованиям:

1) должно выполняться условие Дирихле;

2) должен быть абсолютно интегрируемым, т.е.:

.

Прямое преобразование Фурье (Direct Fourier Transform)имеет вид:

(2.6),

где – спектральная функция или спектральная плотность сигнала (в (2.6) и далее означает комплексную функцию). Иногда в задачах обработки сигналов ее называют фурье-образом или фурье-спектром сигнала.

В этом выражении для его преобразования использована формула Эйлера для записи комплексного числа в тригинометрической форме:

От спектральной плотности можно перейти к амплитудному спектру

(2.7)

и фазовому спектру

(2.8).

Для вещественной функции спектральная плотность на частотах и является комплексно-сопряжённой, т.е. , тогда для амплитудного и фазового спектров справедливы соотношения:

.

Если – чётная, то спектральная плотность является вещественной и чётной и, наоборот, для нечётной – чисто мнимая и нечётная.

Обратное преобразование Фурье (Inverse Fourier Transform) обеспечивает переход из частотной области во временную область заданного сигнала:

; ( 2.9)

Пример 1. Пусть сигнал является отдельным прямоугольным импульсом (рис.2.3.)

Рис 2.3. Прямоугольный импульс.

Такой сигнал может быть описан как (см. раздел 2.1):

В этом случае спектральная плотность сигнала определяется следующим образом (с учетом выражения (2.6))

.

Амплитудный и фазовый спетры такого сигнала представлены на рис. 2.4 и рис.2.5 соответственно.

Рис. 2.4. Амплитудный спектр прямоугольного импульса.

Рис. 2.5. Фазовый спектр прямоугольного импульса

Пример 2. Исходный сигнал является сдвинутым прямоугольным импульсом (рис.2.6).

Рис. 2.6. Сдвинутый прямоугольный импульс.

Такой сигнал может быть описан как (см. раздел 2.1):

кой иРис.2.6.

,

Тогда получаем выражение для его спектральной плотности:

На рис. 2.7 представлен амплитудный спектр сдвинутого прямоугольного импульса такого сигнала, а на рис. 2.8 – его фазовый спектр.

Рис.2.7. Амплитудный спектр сдвинутого прямоугольного импульса

Рис. 2.8. Фазовый спектр сдвинутого прямоугольного импульса

Отметим, что амплитудные спектры на рис.2.4 и рис. 2.7 совпадают, несмотря на сдвиг прямоугольного импульса.

Пример 3. Пусть исходный сигнал имеет вид:

,

Отсюда не трудно получить, что его спектральная плотность имеет вид:

.

Преобразование Фурье является одним из важнейших ортогональных преобразований, используемых в цифровой обработке сигналов. Действительно, вполне физически ясен смысл перехода от временного описания исходного сигнала к его частотному описанию. Кроме того, двумерное преобразование Фурье описывает не что иное, как дифракцию электромагнитных и упругих волн в дальней зоне (дифракцию Фраунгофера) – т.е. на большом (по сравнению с размерами источника и длиной волны) расстоянии от источника [28].