2015-05-06
1350
Для каждой реализации случайного процесса можно определить свою спектральную плотность 
, выполнив прямое преобразование Фурье. Для множества (ансамбля) реализаций можно определить статистически усреднённую спектральную плотность 
:
Таким образом, усреднённая спектральная плотность случайного процесса представляет собой спектр его детерминированной составляющей (математического ожидания). Для центрированного случайного процесса 
и 
.
Вывод – вычисление не несёт информации о собственно случайной составляющей процесса, так как фазы спектральных составляющих в различных реализациях независимы и случайны.
Рассмотрим спектральную плотность мощности случайного процесса, так как мощность не зависит от соотношения фаз спектральных составляющих.
Пусть 
– центрированный случайный процесс и ограничим длительность его реализации конечным интервалом 
. Найдём для реализации на этом интервале спектральную плотность 
через прямое преобразование Фурье.
Согласно равенству Парсеваля:
|
|
|
Теперь определим среднюю мощность 
реализации на данном временном интервале:
При увеличении времени 
энергия всей реализации неограниченно возрастает, а средняя мощность стремиться к некоторому пределу.
Пусть 
, тогда получаем:
,
где 
– спектральная плотность средней мощности или спектральная плотность мощности – power spectral density (PSD).
Для центрированного эргодического процесса средняя мощность для любой реализации равна дисперсии процесса, т.е.:
Заметим, что 
– вещественная функция и не содержит информации о фазах спектральных составляющих, тем самым она не позволяет восстановить отдельные реализации случайного процесса.
