Оконное преобразование Фурье

Главный недостакок ДПФ и ДКП заключается в интегральной оценке всех частотных составляющих спектра вне зависимости от времени их существования. Поэтому ДПФ И ДКП не годятся для нестационарных сигналов, у которых определённые частотные компоненты существуют только в определённые промежутки времени [13,27,33].

Проблемы спектрального анализа ограниченных во времени сигналов частично решаются с помощью оконного преобразования Фурье [33].

Идея данного преобразования заключается в разбиении временного интервала на ряд промежутков – окон. Для каждого из окон вычисляется своё Фурье преобразование. Таким образом, можно перейти к частотно-временному представлению сигнала [13].

При выполнении оконного Фурье-преобразования по методу Бартлетта весь интервал наблюдения сигнала из N отсчетов сигнала разбивается на K неперекрывающихся выборок по M-отсчётов в каждой и последующего их усреднения (рис. 6.3).

М точек

^{1 выборка 2 выборка К выборка}

N точек

Рис.6.3. Разбиения эргодического сигнала на окна по методу Бартлетта

Известен метод Уэлча, который основан на несколько модифицированном методе сегментирования за счёт применения окна данных и использования перекрывающихся сегментов. Вычисление спектральной плотности каждого сегмента (периодограммы или сонограммы) предваряется взвешиванием этих данных на оконную функцию. Это позволяет за счёт небольшого ухудшения разрешения ослабить эффекты, обусловленные боковыми лепестками и уменьшить смещение оценок. С помощью перекрытия сегментов получается увеличить число усредняемых периодограмм при заданной длине записи данных и тем самым уменьшить дисперсию оценки спектральной плотности мощности (рис. 6.4.).

^{1 выборка (М точек) 2 выборка (М точек) К выборка (М точек)}

N точек

Рис. 6.4. Усреднение спектральных оценок по методу Уэлша

На рис. 6.5, а) предстравлена в качестве иллюстрация временная диаграмма колебания струны, а на рис. 6.5, б) – сонограмма, т.е зависимость амплитуды от частоты и от времени, построенная как результат оконнго преобразования Фурье по методу Уэлча.

а)

б)

Рис. 6.5. Временная диаграмма колебания струны (а) и ее сонограмма (б).

При вычислении оконного ДПФ по методу Уэлча имеется возможность существенного сокращения вычислительных затрат за счет оптимизации вычислений.

Основная идея оптимизации вычислений заключается в выявлении зависимостей между результирующими отсчетами с одинаковыми порядковыми номерами с целью использования предыдущих значений отсчетов для расчета текущих. Очевидно, что полученные зависимости позволят выполнять преобразования тем быстрее по сравнению с традиционными методами, чем больше размер окна.

ДПФ в матричной форме выглядит следующим образом:

В начале выполняется ДПФ для отсчетов .. :

(6.20)

Далее, при сдвиге окна на один отсчет ДПФ досчитывается на основе предыдущего результата:

(6.21)

Так как является периодической последовательностью[1] с периодом , то можно записать:

, (6.22)

Для следующего шага формула будет выглядеть:

, (6.23)

Следовательно, общая формула имеет вид:

, , (6.24)

где l – номер этапа вычисления кратковременного ДПФ при сдвиге окна на один отсчет.

Формула для обратного кратковременного ПФ имеет вид:

, , (6.25)

где l – номер этапа вычисления кратковременного ДПФ при сдвиге окна на один отсчет.

Во время вычисления кратковременного ДПФ при сдвиге окна необходимо выполнить только N базовых операций. Вычислительная сложность этого алгоритма БО[2].