Понятие Марковского случайного процесса

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.

Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S ₁, S ₂, S ₃, … можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным во времени. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).

Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы — марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия,если для любого момента времени t ₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t ₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пример марковского процесса: система S — счетчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t ₀ счетчик показывает S ₀. Вероятность того, что в момент t > t ₀ счетчик покажет то или иное километров (точнее, соответствующее число рублей) S ₁,зависит от S ₀, но не зависит от того, в какие моменты времени изменялисьпоказания счетчика до момента t ₀.

Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система S — группа шахмат-фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t ₀. Вероятность что в момент t > t ₀ материальный перевес будет на стороне из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t ₀, а не того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t ₀.

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения марковские модели.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний. Обычно состояния системы изображают прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние.— стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

Пример 1. Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Возможные состояния системы: S ₀ — оба узла исправны; S ₁ — первый узел ремонтируется, второй исправен, S ₂ — второй узел ремонтируется, первый исправен; S ₀ — оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на следующем рисунке.

Стрелка, направленная, например, из S ₀ в S ₁ означает переход системы в момент отказа первого узла, из S ₁ в S ₀ - в момент окончания ремонта этого узла.

На графе отсутствуют стрелки из S ₀ в S ₃ и из S ₁ в S ₂. Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S ₀ в S ₃) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S ₃ в S ₀) можно пренебречь.

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, познакомимся с одним из важных понятий теории вероятностей — понятием потока событий.