2015-05-06
332
В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций. Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на следующем рисунке.
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S 0, S 1, S 2, …, Sk. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы только либо в состояние Sk -1, либо в состояние Sk +1.
Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями lk , k +1 или l k +1, k.
По графу, представленному выше, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).
|
|
|
В соответствии с правилом составления таких уравнений получим: для состояния S 0
l 01 р 0= l 10 р 1, (12)
для состояния S 1 — (l 12+ l 10) р 1= l 01 р 0+ l 21 р 2, которое с учетом (12) приводится к виду
l 12 р 1= l 21 р 2. (13)
Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:
(14)
к которой добавляется нормировочное условие
p 0+ p 1+ p 2+… +pn =1. (15)
Решая систему (15.14), (15.15) можно получить
р 0= 
+ 
+…+ 
, (16)
р 1= 
р 0, р 1= р 0, …, рn = 
р 0 (17)
