Потоки событий

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).

Поток характеризуется интенсивностью l — частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: l (t)= l. Например, поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но этот поток можно считать стационарным в течение отдельных промежутков времени, скажем, в часы пик.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t ₁ и t ₂ — число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени D t двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов не ординарен.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простейший» объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Заметим, что регулярный поток не является «простейшим», так как он обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.

Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа п независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям l_i (i =1, 2,..., п) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью l, равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.

l =

[Можно показать, что для простейшего потока число событий (точек), попадающих на произвольный временной участок t, распределено по закону Пуассона

P_m (t)= , (1)

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии: а = s ²= lt.

В частности, вероятность того, что за время t не произойдет ни одного события (т =0), равна

P ₀(t)= , (2)

Найдем распределение интервала времени Т между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.

В соответствии с (2) вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий, равна

P (Т > t)= , (3)

а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины Т, есть

F (t)= P (Т < t)=1- , (4)

Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения, то есть

j (t)= F ¢(t)= l , (5)

Распределение, задаваемое плотностью вероятности (5) или функцией распределения (4), называется показательным (или экспоненциальным). Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению случайной величины

а = s ²= (6)

и обратно по величине интенсивности потока l.

Важнейшее свойство показательного распределения (присущее только показательному распределению) состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время t, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (Т - t): он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т.

Другими словами, для интервала времени Т между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для «отсутствия последействия» — основного свойства простейшего потока.

Дня простейшего потока с интенсивностью l вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени D t хотя бы одного события потока равна согласно (4)

P _{D t} = P (Т <D t)=1- » l D t, (7)