Движение м.т. под действием силы, зависящей только от скорости

Основные законы динамики.

Дифференциальные уравнения движения точки

Две основные задачи динамики материальной точки. Первая основная задача динамики.

4 Вторая основная задача динамики. Случаи силы зависящей только от времени, только от скорости и только от координаты

Случаи силы зависящей только от времени, только от скорости и только от координаты

Движение м.т. под действием силы, зависящей только от скорости

Движение м.т. под действием силы f = f (v), зависящей только от скорости, происходит по закону:

w = f (v)/ m

В общем случае направление вектора w может не совпадать с направлением вектора скорости v. Но в данном случае мы рассматриваем одномерное движение. В противном случае сила будет зависеть от направления движения.

Для получения уравнения движения необходимо решить в общем случае нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно v:

dv / dt = f (v)/ m

∫ m / f (v) dv = ∫ dt

При ГПТК скорость преобразуется как вектор–скорость, но сила не должна измениться:

f '(v ') = f (v ' + v ₀) = f (v)

В 3-мерном пространстве уравнение движения состоит из системы трех независимых уравнений, каждая из которых решается независимо от других.

Простейшей зависимостью такой силы от скорости является линейная:

dv / dt = – k (v – v ₀)

где k – коэффициент сопротивления движению,

v ₀ – некоторая постоянная скорость, зависящая от с.о., или собственная скорость среды движению м.т. Параметр v ₀ может быть полем скорости сопротивляющейся среды.

Решим ее для постоянного v ₀:

dv /(v – v ₀) = – k dt

Проинтегрируем ее между точками t и t ₀ при v > v ₀:

ln(v (t) – v ₀) = – k (t – t ₀)

v (t) – v ₀ = –exp(– k (t – t ₀))

v (t) = v ₀ – exp(– k (t – t ₀))

При k < 0 движение происходит с приближением значения скорости м.т. к скорости v ₀, но эта скорость никогда не достигнет значения, равного v ₀, в силу свойств экспоненциальной функции: v ₀ – это скорость выделенной с.о., в которой скорость м.т. со временем стремится к нулевому значению, т.е. останавливается.

Разрешим уравнение относительно координаты r:

r (t) = r ₀ + ∫ v dt

r (t) = r ₀ + ∫(v ₀ – exp(– k (t – t ₀))) dt =

= r ₀ + v ₀ (t – t ₀) + (exp(– k (t – t ₀)) – 1)/ k

При k < 0, v ₀ = 0 и t → ∞ движение происходит с замедлением и бесконечным стремлением к некоторой границе, в силу свойств экспоненциальной функции:

r_max = l im _{t →∞}[ r ₀ + (exp(– k (t – t ₀)) – 1)/ k ] =

= r ₀ +1/ k

Еще одна простейшая зависимость такой силы от скорости – тоже линейная, но всегда направленная перпендикулярно вектору скорости и некоторому направлению H:

f = e [ v ´ H ]

Под действием такой силы м.т. будет двигаться по окружности некоторого радиуса R, определяемой из уравнения:

e [ v ´ H ] = mv ²/ R

R = m / e · v ²/[ v ´ H ]

При наличии начальной тангенциальной скорости м.т. к направлению H м.т. будет двигаться одновременно по винтовой линии со скоростью в направлении H, равной начальной тангенциальной скорости м.т.