2015-05-06
491
Рассмотрим важный случай колебаний, возникающих, когда на точку, кроме восстанавливающей силы 
, действует еще периодически изменяющаяся со временем сила 
, проекция которой на ось Ох равна
.
Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными. Величина Р является частотой возмущающей силы.
Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со временем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда 
определяется указанным равенством. Такая возмущающая сила называется гармонической.
Рассмотрим движение точки, на которую, кроме восстанавливающей силы 
, действует только возмущающая сила 
. Дифференциальное уравнение движения в этом случае
.
Разделим обе части этого уравнения на т и положим
.
Тогда, учитывая обозначение, приведем уравнение движения к виду
.
Уравнение является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его решением, как известно из теории дифференциальных уравнений, будет 
, где 
-общее решение уравнения без правой части, а 
- какое-нибудь частное решение полного уравнения.
Полагая, что p = k, будем искать решение в виде
,
где А - постоянная величина, которую надо подобрать так, чтобы равенство обратилось в тождество. Подставляя значение и его второй производной в уравнение будем иметь:
.
Это равенство будет выполняться при любом t, если 
или
.
Таким образом, искомое частное решение будет
.
Так как , а общее решение имеет окончательно вид
,
где а и 
- постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным. Решение показывает, что колебания точки складываются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой а (зависящей от начальных условий) и частотой k, называемых собственными колебаниями, и 2) колебаний с амплитудой А (не зависящей от начальных условий) и частотой р, которые называются вынужденными колебаниями
Частота р вынужденных колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числитель и знаменатель на 
, можно представить в виде:
,
где 
, т. е. 
есть величина статического отклонения точки под действием силы 
. Как видим, A зависит от отношения частоты р возмущающей силы к частоте k собственных колебаний.
Подбирая различные соотношения между р и k, можно получить вынужденные колебания с разными амплитудами. При 
амплитуда равна (или близка к этой величине). Если величина р близка к k, амплитуда A становится очень большой. Когда 
, амплитуда A становится очень малой (практически близка к нулю).
Резонанс. В случае, когда 
, т.е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса. Размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать так, как показано на рис.35.
Рис.35
