Обобщенные силы

Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q_k.

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q_k, соответствующую обобщенной координате q_k, надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

(7)

где – перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k –той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t, отношение можно определять как частную производную . Тогда

(8)

где координаты точек – функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек – функции обобщенных координат, то

(9)

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q ₁, q ₂, q ₃,…, q_s).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [ q ] – метр, то размерность

= Нм/м = Ньютон, если [ q ] – радиан, то = Нм; если [ q ] = м², то и т.п.

Пример 23. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.72). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.

Рис.72

Система имеет две степени свободы. Назначаем две обобщенные координаты s и .

Найдем обобщенную силу, соответствующую координате s. Даем приращение этой координате, оставляя координату неизменной, и вычислив работу единственной активной силы Р, получим обобщенную силу

.

Затем даем приращение координате , полагая s = const. При повороте стержня на угол точка приложения силы Р, колечко М, переместится на . Обобщенная сила получится

.

Так как система консервативная, обобщенные силы можно найти и с помощью потенциальной энергии . Получим и Получается гораздо проще.