Гравитационное взаимодействие

8.1. Первая космическая скорость для Земли v ₃ = 8 км/с. Какова первая космическая скорость для планеты, масса которой такая же как у Земли, а радиус в два раза больше? [ ]

8.2. Какова первая космическая скорость для планеты, плотность которой такая же как у Земли, а радиус в 2 раза больше? [ v = 2 v ₃ = 16 км/с]

8.3. Два спутника вращаются вокруг некоторой планеты по круговым орбитам, радиусы которых относятся как R ₂/ R ₁ = 2. Как относятся периоды их обращения T ₂/ T ₁? [ ]

8.4. Две звезды, суммарная масса которых равна M, вращаются вокруг общего центра масс на расстоянии R друг от друга. Найти период их обращения. [ ]

8.5. Космический корабль движется по круговой орбите радиуса R вокруг Земли со скоростью v, вдвое большей скорости свободного движения по той же орбите. Какую силу тяги развивают двигатели корабля, если его масса равна M?

[ ]

8.6. Зная, что солнечный диск виден с Земли под углом a = 5^o, определить среднюю плотность Солнца. [ ]

8.7. На какой высоте ускорение свободного падения уменьшается в 2 раза? Радиус Земли равен R ₃ = 6400 км. [ H» 2656 км]

8.8. Ускорение свободного падения на поверхности планеты равно g ₁, а на высоте h – g ₂. Найти радиус планеты. [ ]

8.9. Какое расстояние пролетит за 1 секунду тело, свободно падающее с высоты 1000 км? [ l» 3,7 м]

8.10. Расстояние от Земли до Луны 380000 км, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. На каком расстоянии от центра Земли равнодействующая сил тяготения равна нулю? [ l» 342000 км]

8.11. Какова будет первая космическая скорость, если Землю сжать, уменьшив ее радиус в 2 раза? [ v» 11,2 км/с]

8.12. Белый карлик Сириус B имеет радиус 0,02 радиуса Солнца, а массу равную массе Солнца. Найти ускорение свободного падения на поверхности Сириуса B и его плотность. Радиус Солнца – R _C = 696 тыс. км, радиус Земной орбиты – R = 150 млн. км. [ ]

8.13. При какой продолжительности суток тела на экваторе Земли были бы невесомыми? [ ]

8.14. Какой была бы продолжительность года, если бы при неизменной плотности все линейные размеры в Солнечной системе уменьшились в два раза? [не изменилась]

8.15. Пассажир массой m = 70 кг находится в автобусе, который едет со скоростью v = 72 км/ч вдоль экватора Земли, сначала с запада на восток; затем в обратном направлении. Определить разность веса пассажира в этих двух случаях.

[ ]

8.16. Вес тела на полюсе планеты в n раз больше, чем на экваторе. Определить среднюю плотность планеты, если продолжительность суток на ней равна T. [ ]

8.17. Вес тела на полюсе Земли равен Р _o, а ускорение свободного падения g _o. Найти вес тела на широте j. [ ]

8.18. Ускорение свободного падения на экваторе Земли равно g = 9,8 м/с². С какой силой тело массой m = 1 кг притягивает Землю? [ ]

8.19. Груз свободно висит на нити. При какой продолжительности суток нить будет располагаться параллельно оси вращения Земли? Опыт проводится на широте Москвы. [ ]

8.20. Спутник вращается вокруг планеты на малой высоте с периодом T. Какова средняя плотность планеты? [ ]

8.21. Ракета стартует вертикально вверх и движется равноускоренно с ускорением a = 0,5 g. На какой высоте вес космонавта равен нормальному?

[ ]

8.22. В бесконечной однородной жидкости с плотностью r находится шарик массой m. На расстоянии l от шарика образовался сферический воздушный пузырек радиусом R. Найти гравитационную силу, действующую со стороны жидкости на шарик. [ ]

8.23. Внутри однородного шара с плотностью r имеется сферическая полость, центр которой находится на расстоянии l от центра шара. Найти напряженность поля тяготения внутри полости. [ ]

8.24. Вокруг шарообразной планеты радиусом R по круговой орбите движется спутник. Период обращения спутника равен T, а ускорение свободного падения у поверхности планеты равно g. Определить радиус орбиты. Как будет изменяться скорость спутника, если он начнет тормозиться в верхних слоях атмосферы?

[ ]

8.25. Оценить массу Земли по следующим данным: гравитационная постоянная G = 6,672×10¹¹ м³/(кг×см²), радиус Земли R ₃ = 6378,5 км. [ M = 5,98×10²⁴ кг]

8.26. В свинцовом шарике радиусом R и массой М сделана сферическая полость радиусом R /2, поверхность которой касается поверхности шара. С какой силой свинцовый шар будет притягивать шарик массой m, находящийся на расстоянии d > R от центра свинцового шара на прямой, соединяющей центры шара и полости, со стороны полости? [ ]

8.27. Вокруг планеты, имеющей форму шара радиуса r, по круговой орбите движется спутник. Определить радиус орбиты спутника R, считая известным ускорение свободного падения у поверхности планеты g и период обращения спутника T.

[ ]

8.28. Спутник движется по орбите, высота которой равна радиусу Земли. Определить скорость движения и период обращения спутника.

[ ]

8.29. Спутник движется по круговой орбите, радиус которой составляет n радиусов планеты. Какова плотность вещества планеты r, если период обращения спутника T? Планету считать однородным шаром. Гравитационная постоянная G.

[ ]

8.30 Вес тела на экваторе составляет h = 97 % от веса этого же тела на полюсе. Найти период вращения планеты вокруг своей оси T, если плотность вещества планеты r = 2,5×10³ кг/м³. [ ]

8.31. Масса двух звезд m ₁ и m ₂, расстояние между ними l. Найти период обращения этих звезд по круговым орбитам вокруг их общего центра.

[ ]

8.32. Известно, что сила тяжести, действующая на тело на высоте h над поверхностью планеты на полюсе, равна весу на этого же тела на поверхности планеты на экваторе. Найти период T вращения планеты вокруг оси, если радиус планеты R, а ускорение свободного падения у поверхности на полюсе g. Планету считать однородным шаром. [ ]

8.33. Определить период обращения спутника по эллиптической орбите, апогей которой (максимальное удаление от центра Земли) равен утроенному радиусу R_a = 3 R ₃, а перигей (минимальное удаление от центра Земли) R_п = R ₃, Найти отношение скоростей в апогее и перигее. Для решения задачи применить законы Кеплера.

[ ]

8.34. Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите радиусом R = 3 R, где R ₃ = 6400 км – радиус Земли. В результате кратковременного действия тормозного устройства скорость спутника уменьшилась так, что он начинает двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Земли. Через какое время после этого спутник приземлится? [ ]

8.35. Имеется шар массой M и радиусом R и материальная точка массой m. Во сколько раз уменьшится сила тяготения между ними, если в шаре сделать сферическую полость радиусом 5 R /6?Материальная точка лежит на прямой, проведенной через центры шара и полости, на расстоянии R от центра шара и на расстоянии 5 R /6 от центра полости. [6]

8.36. В безграничной среде плотностью r_o = 1000 кг/м3 находятся на расстоянии 20 см от центров друг друга два шара объемами V ₁ = 30 см³ и V ₂ = 40 см³, плотностью r = 2000 кг/м³. Определить силу взаимодействия между шарами. [6 пН]

8.36. Представим, что к центру Земли прорыли шахту. Определите, как будет изменяться сила тяжести в зависимости от расстояния r до центра Земли, если тело массой m передвигать вдоль шахты. [ mgr / R ]

8.37. Радиус орбиты Нептуна в 30 раз больше радиуса орбиты Земли. Какова продолжительность года на Нептуне? [164]

8.38. Тело массой m = 1 кг, свободно падает в течение t = 6 с, попадает на Землю с географической широтой j = 30^о. Учитывая вращение Земли, определить отклонение тела при его падении от вертикали. [4,45 см]

8.39. Радиус одного из астероидов r = 5 км. Допустив, что плотность астероида r_a = 5,5 г/см³: 1) найти ускорение силы тяжести g_a на его поверхности; 2) определить, на какую высоту поднялся бы человек, находящийся на астероиде и подпрыгнувший с усилием, достаточным для прыжка на высоту 5 см на Земле (астероид имеет форму шара). [0,008; 64]