Динамика вращающегося тела

9.1. Горизонтально расположенный диск вращается вокруг вертикальной оси с частотой n = 10 об/мин (рис. 9.1). На каком расстоянии от центра диска может удержаться лежащее на нем небольшое тело, если коэффициент трения равен m = 0,2? [ ]

9.2. На вращающийся горизонтальный диск кладут брусок, На него сверху кладут такой же брусок, привязанный нитью оси диска. При какой угловой скорости вращения диска нижний брусок выскользнет, если, когда он лежит один, то начинает скользить при угловой скорости w_о? Коэффициенты трения между всеми поверхностями одинаковы. [ ]

9.3. Груз массой m, прикрепленный пружиной жесткости k к вертикальной оси, движется вокруг этой оси по горизонтальной окружности радиусом R с угловой скоростью w. Какова длина недеформированной пружины? [ ]

9.4. Муфта массой m насажена на гладкий горизонтальный стержень длиной 2 l _o и скреплена двумя одинаковыми пружинами с осью OO ₁ и упором на конце стержня. В отсутствие вращения пружины ненагружены, а их жесткости равны k. Систему раскручивают вокруг оси OO ₁. Найти зависимость расстояния от оси до муфты от угловой скорости вращения. Размерами муфты пренебречь. [ ]

9.5. Человек массой m = 70 кг качается на качелях. Длина веревок l = 8 м. Человек проходит положение равновесия со скоростью v = 6 м/с. Какова сила натяжения веревок в этот момент? [ ]

9.6. Шарик, подвешенный на нити длиной l, вращается в горизонтальной плоскости так, что нить составляет угол a с вертикалью (конический маятник). Определить скорость вращения шарика. [ ]

9.7. На горизонтальном диске лежит небольшой брусок, привязанный нитью длиной l к оси диска. Нить натянута и составляет с вертикалью угол a. Диск начинают медленно раскручивать. При какой угловой скорости вращения диска брусок оторвется от него? Какова при этом будет сила натяжения нити? Масса бруска равна m. [ ]

9.8. Автомобиль массой m = 1000 кг въехал на выпуклый мост длиной l = 156 м со скоростью v _o = 36 км/ч. По мосту он движется с ускорением a = 1 м/с². Определить силу давления автомобиля на мост в середине моста, где радиус кривизны R = 200 м. [ ]

9.9. Два тела массой m, связанные нитью длиной l, движутся со скоростью v, направленной перпендикулярно нити (рис. 9.2), по горизонтальному столу. Середина нити натыкается на вбитый в стол гвоздь. Какова сила натяжения нити сразу после этого? [ ]

9.10. Два одинаковых тела массой m связаны нитью длиной 2 l и лежат на гладком столе (рис. 9.3). За середину нити начинают тянуть с постоянной скоростью v в направлении перпендикулярном начальному направлению нити. Как зависит величина силы, которую необходимо прикладывать к нити от угла a между вектором скорости v и нитью? [ ]

9.11. Автомобиль, движущийся по горизонтальной дороге со скоростью v, въезжает в горизонтальный поворот с радиусом закругления R. Какое максимальное тангенциальное ускорение может развить автомобиль на повороте, если коэффициент трения между колесами и дорогой равен m. Обе оси автомобиля ведущие.

[ ]

9.12. На горизонтальном диске на расстоянии R = 1 м от его оси лежит небольшой брусок. Диск начинает раскручиваться с угловым ускорением e = 4 с^–2. Через какое время брусок начинает скользить по диску, если коэффициент трения равен m = 0,5? [ ]

9.13. Втулка массой m может без трения скользить по горизонтальному стержню (рис. 9.4). Через кольцо втулки продета нить, один конец которой закреплен, а на втором висит груз массой m. Определить угол между нижним участком нити и вертикалью в режиме установившегося движения системы. Нить гладкая и невесомая, ее верхний конец горизонтален. [ ]

9.14. В точке A диска (рис. 9.5) закреплен один конец пружины, жесткость которой k = 100 Н/м. К другому концу пружины прикреплен груз массой m = 20 г. Расстояние OA = 5 см, собственная длина пружины l = 10 см. Какой станет длина пружины, если диск будет вращаться с угловой скоростью w = 100 c^–1? Трения нет. [закон Гука такого режима не выдержит]

9.15. Вертикальный вал вращается (рис. 9.6). С валом шарнирно соединен невесомый стержень длиной l =10 см, на другом конце которого имеется маленький массивный шарик. На какой угол от вертикали отклонится стержень при угловых скоростях вращения вала: w₁ = 14 c^–1 и w₂ = 7 c^–1? [a₁ = 60^o; a₂ = 0]

9.16. Нить и привязанный к ней однородный стержень вращаются с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси. Будут ли нить и стержень направлены вдоль одной прямой? [не будут]

9.17. Космическая станция вращается вокруг своей оси (рис. 9.7), за счет чего на ней создается искусственная сила тяжести. Космонавт отпускает предмет в точке A. Упадет ли предмет в точку B? [нет]

9.18. Математический маятник состоит из шарика массой m = 50 г, подвешенного на нити длиной l = 1 м. Определить наименьшую силу натяжения нити, если шарик проходит положение равновесия со скоростью v = 1,4 м/с.

[ ]

9.19. Математический маятник совершает колебания. В положении наибольшего отклонения ускорение груза в 20 раз меньше, чем при прохождении положения равновесия. Найти угол максимального отклонения. [ ]

9.20. На вращающемся горизонтальном столике на расстоянии R = 50 см от оси вращения лежит груз весом P = 10 Н. Коэффициент трения между грузом и поверхностью стола m= 0,25. Какова сила трения, удерживающая груз, если скорость вращения столика n =12 об/мин? При какой угловой скорости w _max груз начнет скользить по столику? [ ]

9.21. Маленький шарик массы m = 100 г подвешен на длинной нити к потолку вагона, который равномерно движется по криволинейному участку пути со скоростью 72 км/ч. С какой силой T натянута нить, если радиус закругления участка пути R = 200 м? [ T = 1 H]

9.22. Какова должна быть наименьшая скорость мотоцикла, для того чтобы он мог ехать по внутренней поверхности кругового цилиндра радиусом R погоризонтальной окружности? Коэффициент трения скольжения между шинами мотоцикла и поверхностью цилиндра равен m. [ ]

9.23. Плоскость с углом наклона aк горизонту вращается с угловой скоростью wвокруг вертикальной оси. На наклонной плоскости лежит груз. Определить расстояние R между осью вращения и центром масс груза. Трением пренебречь. [ ]

9.24. Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость движения велосипедиста по наклонному треку с углом наклона aпо сравнению с максимальной скоростью движения по горизонтальному треку при одинаковых радиусах кривизны траектории и коэффициентах трения m? [ ]

9.25. Плоскость с углом наклона a к горизонту вращается с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси. На наклонной плоскости на расстоянии R от оси вращения лежит груз. При каком минимальном коэффициенте трения он не будет скользить по плоскости? [ ]

9.26. Полусферическая чаша радиусом R = 1 м вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w =4,4 с^–1. В чаше лежит шарик, вращающийся вместе с ней. В каком месте чаши он находится? Место определить углом.

[ ]

9.27. Чаша в форме полусферы радиусом R = 0,8 м вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси. Вместе с чашей вращается шарик, лежащий на ее внутренней поверхности. Расстояние от шарика до нижней точки чаши равно ее радиусу. Определить угловую скорость вращения чаши. [ ]

9.28. Нить маятника отклонена до горизонтального положения и отпущена. Какова должна быть минимальная прочность нити, чтобы она могла выдержать натяжение при прохождении маятником массой 1 кг положения равновесия?

[ ]

9.29. Тело массой m = 0,1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной l = 1 м. Ось вращения расположена над полом на высоте H = 2 м. При прохождении нижнего положения нить обрывается и тело падает на пол на расстоянии L = 4 м (по горизонтали) от точки обрыва. Определить силу натяжения нити в момент ее обрыва. [ ]

9.30. Груз массой m,привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках траектории. [ ]

9.31. Тело, подвешенное на нити длиной l, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса (конический маятник). Угловая скорость вращения равна w.Определить угол, который образует нить с осью вращения. [ ]

9.31. Шарику, подвешенному на нити, сообщили некоторую начальную скорость, после чего он стал вращаться по окружности в вертикальной плоскости. Определить массу шарика m, если известно, что сила натяжения нити в верхней точке траектории составила T ₁ = 1 H, а в нижней точке траектории T ₂ = 2 H. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,8 м/с². [ ]

9.32. Тяжелый шарик, подвешенный на нити l = 1 м, описывает окружность в горизонтальной плоскости (конический маятник). Найти период обращения шарика, если маятник находится в лифте, движущемся вниз с постоянным ускорением a = 5 м/с². Нить составляет с вертикалью угол a = 60^о. [ ]

9.33. Шарик массой m, подвешенный на нити длиной l, приведен во вращательное движение в горизонтальной плоскости. Какова должна быть прочность нити F, чтобы радиус R окружности, по которой движется шарик, стал равным ?

[ ]

9.34. Стержень длиной l =1 м закреплен жестко под углом j = 30^oна вертикальной оси и вращается вместе с осью с угловой скоростью w =10 c^–1. К нижнему концу стержня прикреплен шарик массой m = 1 кг. Найти силу, с которой стержень действует на шарик. [ ]

9.35. Круглая платформа вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w.На платформе находится шарик массы m,прикрепленный к оси нитью. Угол наклона нити равен a,длина нити равна L. Определить натяжение нити в момент времени отрыва шарика от платформы. [ F = m w² L ]

9.36. Конус с углом раствора 2aвращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w.В конусе находится шарик массы m,прикрепленный с помощью нити к боковой поверхности конуса и вращающийся вместе с ним по окружности радиуса R. Найдите натяжение нити. [ ]

9.37. Груз массой m лежит на горизонтальном плоском столе, вращающемся с угловой скоростью wвокруг вертикальной оси, к которой он прикреплен с помощью невесомой пружины в недеформированном состоянии длиной l _o и жесткостью k. Коэффициент трения между столом и грузом m. Определить, на каком расстоянии может находиться груз от оси вращения.

[ ]

9.38. Маленькое тело соскальзывает без начальной скорости по внутренней поверхности полусферы с высоты, равной ее радиусу. Одна половина полусферы абсолютно гладкая, а другая – шероховатая, причем на этой половине коэффициент трения между телом и поверхностью m = 0,15. Определить ускорение a тела в тот момент, как только оно перейдет на шероховатую поверхность. [ ]

9.39. Металлический стержень (рис. 9.8), изогнутый под углом j = 45^о, как показано на рисунке, вращается с угловой скоростью w = 6 рад/с вокруг вертикальной оси OO ^/. К концу стержня прикреплен груз массой m = 0,1 кг на расстоянии l = 0,1 м от точки O. Определить модуль силы F, с которой стержень действует на груз. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с². [ H]

9.40. Резиновый шнур длиной 0,8 м и массой 300 г имеет форму круглого кольца. Его положили на гладкую горизонтальную поверхность и раскрутили вокруг вертикальной оси так, что скорость каждого элемента кольца равна 3 м/с. Найдите удлинение (в см) шнура, если его жесткость 30 Н/м. [10]

9.41. В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиусом 8,5 м, оставаясь все время на 5,1 м выше центра сферы. При какой минимальной скорости это возможно? Коэффициент трения между колесами и поверхностью сферы 0,92. [26]

9.42. Цепочку длиной 1 м и массой 157 г замкнули в кольцо и надели сверху на гладкий круговой конус с вертикальной осью и углом полураствора 45^о. Каким будет натяжение (в мН) цепочки, если конус привести во вращение так, чтобы каждый элемент цепочки имел скорость 2 м/с? [878]

9.43. Замкнутая цепочка массой 157 г надета «с натягом» на жесткий вертикальный цилиндр радиусом 5 см. Натяжение цепочки равно 3 H. До какой угловой скорости надо раскрутить цилиндр, чтобы цепочка соскользнула с него вниз? Коэффициент трения цепочки о цилиндр 0,1. [20]