Корреляционный анализ

Корреляционный анализ наряду со спектральным играет большую роль в теории сигналов. Говоря кратко, его смысл состоит в количественном измерении степени сходства различных сигналов. Для этого служат корреляционные функции.

Корреляционная функция (КФ; английский термин - correlation function, CF) детерминированного сигнала с конечной энергией представляет собой интеграл (в бесконечных пределах) от произведения двух копий сигнала, сдвинутых друг относительно друга на время т:

Корреляционная функция показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией - чем больше значение корреляционной функции, тем это сходство сильнее.

В качестве примера вычислим КФ прямоугольного импульса, показанного ранее на рис. 1.12:

· при 0 ≤ τ ≤ T

· при - T ≤ τ < 0

· при |τ| > T

B_s (τ) = 0.

Объединяя результаты, можно записать

График КФ прямоугольного импульса показан на рис. 1.26.

Рис. 1.26. Корреляционная функция прямоугольного импульса

Если КФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того же сигнала, то взаимная корреляционная функция (ВКФ; английский термин - cross-correlation function, CCF) позволяет измерить аналогичную величину для сдвинутых экземпляров двух разных сигналов.

Общий вид формулы КФ сохраняется, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых задержан на время τ:

Таким образом, корреляционная функция случайного процесса и его спектральная плотность мощности связаны друг с другом преобразованием Фурье. Это соотношение носит название теоремы Винера-Хинчина.

Так как и R (τ), и W (ω) являются четными вещественными функциями, можно отказаться от комплексной формы записи преобразования Фурье и перейти к полубесконечным пределам интегрирования:

Очень часто используемая модель случайного процесса оказывается такова, что воспользоваться непосредственно определением (1.45) для расчета спектральной плотности мощности не представляется возможным. Если при этом удается вычислить корреляционную функцию, получить спектральною информацию позволяет теорема Винера-Хинчина.

Задание:

1. Создать модель сигналов (длительность импульса t определяется вариантом, № п/п в списке группы, в «мс»):

• последовательность прямоугольных видеоимпульсов длительностью t
• прямоугольный видеоимпульс длительностью t
• треугольный импульс длительностью t (несиметричный и симетричный)
• гауссовский сигнал длительностью t (длительность определяется по стандарту нормального распределения)
• сигнал вида sin(x)/x
• дельта-импульс
• отрезок синусоидального сигнала
• суммы гармонических сигналов с разными фазами
• белый шум

2. Построить графики амплитудного спектра сигналов.

3. Построить график автокорреляционной функции сигналов.

4. Определить практическую ширину спектра сигналов.