Пример выполнения задания. Изучается движение механической системы, представленной на рис

7.3.1. Условие примера

Изучается движение механической системы, представленной на рис. 7.2. Даны следующие значения параметров: Нм, Н, кг, кг, м, м, м.

73.2. Решение примера

Рассматриваемая механическая система имеет две степени свободы (n=2). В качестве обобщенных координат назначим угол поворота пластины вокруг вертикальной оси и центральный угол , определяющий положение материальной точки на круговом желобе (рис. 7.3).

Уравнения Лагранжа второго рода для данной механической системы могут быть представлены в виде:

,

(7.1)

.

Здесь - кинетическая энергия системы, и - обобщенные силы, соответствующие назначенным обобщенным координатам.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии пластины и материальной точки :

Пластина совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси , поэтому:

.

Момент инерции пластины относительно оси определяем по теореме Штейнера.

Имеем

.

Таким образом,

.

Кинетическая энергия материальной точки равна

,

где - абсолютная скорость точки .

По теореме о сложении скоростей

.

Величина относительной скорости точки

. (7.2)

Переносная скорость точки

. (7.3)

Векторы и изображены на рис.7.3. Очевидно, что:

, и .

Квадрат модуля абсолютной скорости точки вычисляется по формуле

Тогда с учетом равенств (7.2) и (7.3), получаем

.

Кинетическая энергия точки

.

Окончательное выражение кинетической энергии системы

(7.4)

Для определения обобщенных сил и сообщаем системе возможные перемещения.

Первое возможное перемещение:

Сумма работ активных сил на этом возможном перемещении равна

.

Тогда

. (7.5)

Второе возможное перемещение:

В этом случае сумма работ активных сил запишется

.

Следовательно,

. (7.6)

Вычисляем частные производные от функции (7.4) кинетической энергии по обобщенным скоростям:

, (7.7)

(7.8)

Далее находим обыкновенные производные по времени от полученных выражений (7.7) и (7.8):

(7.9)

(7.10)

Затем вычисляем частные производные от кинетической энергии (7.4) по обобщенным координатам:

, (7.11)

Подставляя равенства (7.5),(7.6),(7.9)--(7.11) в уравнения (7.1), получаем:

С учетом числовых значений исходных данных дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы примут вид:

,

.