7.3.1. Условие примера
Изучается движение механической системы, представленной на рис. 7.2. Даны следующие значения параметров: Нм, Н, кг, кг, м, м, м.
73.2. Решение примера
Рассматриваемая механическая система имеет две степени свободы (n=2). В качестве обобщенных координат назначим угол поворота пластины вокруг вертикальной оси и центральный угол , определяющий положение материальной точки на круговом желобе (рис. 7.3).
Уравнения Лагранжа второго рода для данной механической системы могут быть представлены в виде:
,
(7.1)
.
Здесь - кинетическая энергия системы, и - обобщенные силы, соответствующие назначенным обобщенным координатам.
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии пластины и материальной точки :
Пластина совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси , поэтому:
.
Момент инерции пластины относительно оси определяем по теореме Штейнера.
Имеем
.
Таким образом,
.
Кинетическая энергия материальной точки равна
|
|
,
где - абсолютная скорость точки .
По теореме о сложении скоростей
.
Величина относительной скорости точки
. (7.2)
Переносная скорость точки
. (7.3)
Векторы и изображены на рис.7.3. Очевидно, что:
, и .
Квадрат модуля абсолютной скорости точки вычисляется по формуле
Тогда с учетом равенств (7.2) и (7.3), получаем
.
Кинетическая энергия точки
.
Окончательное выражение кинетической энергии системы
(7.4)
Для определения обобщенных сил и сообщаем системе возможные перемещения.
Первое возможное перемещение:
Сумма работ активных сил на этом возможном перемещении равна
.
Тогда
. (7.5)
Второе возможное перемещение:
В этом случае сумма работ активных сил запишется
.
Следовательно,
. (7.6)
Вычисляем частные производные от функции (7.4) кинетической энергии по обобщенным скоростям:
, (7.7)
(7.8)
Далее находим обыкновенные производные по времени от полученных выражений (7.7) и (7.8):
(7.9)
(7.10)
Затем вычисляем частные производные от кинетической энергии (7.4) по обобщенным координатам:
, (7.11)
Подставляя равенства (7.5),(7.6),(7.9)--(7.11) в уравнения (7.1), получаем:
С учетом числовых значений исходных данных дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы примут вид:
,
.