Необходимые условия оптимальности

Построим еще одну систему уравнений относительно сопряженных (вспомогательных) переменных c₀, c₁,.., c_n:

(3)

Это сопряженная система (система ДУ 1-ого порядка).

Если ввести вектор c = c₀, c₁,..,c_n, тогда эта система будет иметь вид:

Если мы выберем некоторое допустимое управление u(t), t₀ ≤ t ≤ t₁, и соответствующую фазовую траекторию (t) с начальным условием (t₀)= ⁰, то из вышеприведенной системы мы получим:

Получили сопряженную систему линейных однородных ДУ, которую можно решать методами теории ДУ. Тогда при любых начальных условиях c_i в момент времени t₀(c_i должен быть нетривиальным) эта система допускает единственное решение. Также как и решение (t), решение сопряженной системы состоит из непрерывных функций c_i(t), имеющих непрерывные производные.

Объединим системы (2) и (3) одной записью, для чего определим функцию гамильтониан: H(x₁,..,x_n, c₀,..,c_n, u₁,.., u_r).

H(c,x,u) = (c,f(x,u)) =

Cистемы (2) и (3) с помощью этой функции H могут быть записаны в виде гамильтоновой системы:

(4)

(5)

Взяв произвольное допустимое кусочно-непрерывное управление u(t), t₀≤t≤t₁, и начальное условие (t₀)= ⁰, мы можем найти соответствующую системе (4) траекторию (t)={x₀(t), x₁(t),.., x_n(t)}. После этого мы можем находить найти соответствующую системе траекторию .

Точная верхняя грань: supℋ

Если точная верхняя грань значений непрерывной функции Н достигается в некоторой точке области U, то есть максимум функции Н.

Теорема 1 (необходимое условие оптимальности):

Пусть u(t), t_0≤t≤t₁ - такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория будет исходящей в момент времени t₀ из точки и проходящей в момент времени t₁ через точку прямой П.

Для оптимальности управления u(t) и траектории x(t) необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции , удовлетворяющей следующим условиям: