Решение задачи

1 2 3 4 5

Система уравнений, описывающая движение фазовыми координатами

, (3)

где

, , тогда - вектор-функция правых частей дифференциальных уравнений.

- вектор фазовых координат.

Записываем функцию Гамильтона для нашей задачи:

где - сопряженный вектор.

Для вспомогательных переменных построим гамильтонову систему:

В результате получили систему линейных дифференциальных уравнений 1-ого порядка относительно .

Найдем общее решение системы для .

Мы получили однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка. Составим характеристическое уравнение:

Так как корни характеристического уравнения действительные и не равны имеем:

Для определения оптимального управления u определяем максимум гамильтониана Н по параметру u при фиксированных в каждый момент времени.

Отсюда следует, что:

при максимум функции Гамильтона достигается при u=1.5,

при максимум функции Гамильтона достигается при u=-1, т.е.

Из максимума функции Н видно, что каждое оптимальное управление u(t), где является кусочно-постоянной функцией принимающие значение 1.5 или -1,и имеющей, не более двух интервалов знако-постоянства, так как поведение функции определяет экспонента, которая не более одного раза пересекает t.

В конечном итоге получим:

и поведение управления (рис.1).

Рис.1

1.Для отрезка времени на котором мы имеем систему ДУ:

Найдем из 1-ого уравнения нашей системы:

найдем из 2-ого уравнения нашей системы:

получаем: ,

отсюда находим:

проинтегрировав, получим общее решение:

обозначим: , получим:

, где S принимает любое значение.

1. Пусть S>0, тогда имеем:

- это семейство гипербол с центром в точке (3.33;0).

a= – действительная полуось.

b= – мнимая полуось.

Уравнение обеих асимптот имеет вид:

, отсюда

Точка пересечения асимптот O₁(0,3.33).

Это семейство гипербол показано на рис.2. Для определения движения по гиперболе точки с координатами х₁ и х₂ берем уравнение:

А) Если наша правая часть , имеем: , если , то или возрастает, т.е. движение вверх.

Б) Если наша производная меньше 0, имеем:

, если , то или убывает, т.е. движение вниз.

2. Пусть S<0. Тогда уравнение преобразуется в уравнение:

- это семейство гипербол с центром в точке (3.33;0).

a= – действительная полуось.

b= – мнимая полуось.

Уравнение асимптот такое же, что и в случае S>0, и имеет вид:

; Т.к. гиперболы сопряженные (сопряженные гиперболы – гиперболы, уравнения которых имеют вид: , а нашем случае: и ), а сопряженные гиперболы имеют одинаковые уравнения асимптот.

Точка пересечения асимптот O₁(0,3.33).

А) Если наша правая часть , имеем: , если , то или возрастает, т.е. движение вверх.

Б) Если наша производная меньше 0, имеем:

, если , то или убывает, т.е. движение вниз.

2. Рассмотрим интервал, на котором .Тогда из (3) имеем:

найдем из 1-ого уравнения нашей системы:

найдем из 2-ого уравнения нашей системы:

получаем:

отсюда находим:

проинтегрировав, получим:

обозначим ,

получим:

1. Пусть S>0, тогда

- это семейство гипербол с центром в точке (-2.22;0).

a= – действительная полуось,

b= – мнимая полуось.

Уравнение обеих асимптот имеет вид:

, отсюда

Точка пересечения асимптот O₂(0,-2.22).

Это семейство гипербол показано на рис.3. Для определения движения по гиперболе точки с координатами х₁ и х₂ берем уравнение:

А) Если наша правая часть больше 0, имеем:

, если , то или возрастает, т.е. движение вверх.

Б) Если наша левая часть меньше 0, имеем: , если , то или убывает, т.е. движение вниз.

2. Пусть S<0. Тогда уравнение преобразуется в уравнение:

- это семейство гипербол с центром в точке (-2.22;0).

a= – действительная полуось,

b= – мнимая полуось.

Уравнение асимптот такое же, что и в случае S>0, и имеет вид:

Точка пересечения асимптот O₂(0,-2.22).

А) Если наша правая часть больше 0, имеем:

, если , то или возрастает, т.е. движение вверх.

Б) Если наша левая часть меньше 0, имеем: , если , то или убывает, т.е. движение вниз.

В начало координат приходит две траектории без переключения. Каждое оптимальное управление u(t) является кусочно-постоянной функцией принимающей -1 и 1.5. Если u(t) сначала в течении некоторого времени было равно +1.5, а затем -1, то фазовая траектория состоит из двух кусков гиперболы примыкающих друг к другу, причем второй кусок гиперболы лежит на гиперболе, которая проходит через (0;0).

Уравнение траектории, приходящее в начало координат c u=-1 без переключения имеет вид:

, x₁=0, x₂=0, отсюда имеем:

, S=1.11, следовательно:

ОА: - уравнение траектории приходящее в начало координат при u=-1 без переключения.

Уравнение траектории, приходящее в начало координат с u=1.5 без переключения имеет вид:

, x₁=0, x₂=0, отсюда имеем:

, S=2.4975, следовательно:

ОВ: - уравнение траектории приходящее в начало координат при u=1.5 без переключения.

В начало координат мы можем придти по траекториям без переключения и с одним переключением. Без переключения мы приходим по ОА и ОВ, с одним переключением мы должны по траектории попасть на ОА или ОВ(рис.4)