Геометрический метод сложения сил

Теорема. Система сходящихся сил на плоскости эквивалентна равнодействующей, приложенной в точке схода и равной геометрической сумме сил.

Доказательство:

Пусть { , , , … } система сходящихся сил, а точка О – точка схода (рис. 2.10). Пользуясь аксиомами статики, приведем систему сил к точке схода, и заменим систему сил { , } <=> , то есть получим { , , , … } эквивалентную { , , , … }. Затем заменим { , } <=> и т. д., в итоге получим одну силу приложенную в точке О, то есть { , , , … } <=> .

Рис. 2.10

Аналитический способ нахождения равнодействующей

Геометрический способ нахождения равнодействующей системы сил сопряжен с определенными трудностями, особенно в случае большого числа сил. Поэтому предпочтительнее аналитический метод нахождения равнодействующей.

Пусть { , , , … } система сходящихся сил на плоскости имеет равнодействующую . Обозначим через и проекции этой равнодействующей на оси системы координат XOY, а через , ; , ;... , ;проекции сил , , , … на те же оси. Из математики известно, что проекция суммы векторов на какую – либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Тогда

(2.2)

Модуль равнодействующей равен:

. (2.3)

Направляющие косинусы вектора R можно найти по формулам

(2.4)

Условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической и аналитической форме.

В геометрической форме: Для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнут (рассмотрим на примере плоской сходящейся системы сил { , , , } (рис. 2.11).

Рис. 2.11

В аналитической форме: Для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей равнялась нулю:

(2.5)