2015-04-20
1566
; (3.72)
в) при загружении крайнего пролета
; (3.73)
при обычных отношениях геометрических размеров 
и 
; 
; 
.
Здесь 
– длина пролетов соответственно для однопролетных и трехпролетных систем; 
– стрелки провиса кабеля в соответствующих пролетах; 
– модуль упругости для балки и кабеля; 
момент инерции балки; 
площадь сечения кабеля; 
длина отдельных участков кабеля; 
– угол наклона участков кабеля к горизонту.
Выражение для распора с учетом деформации кабеля получит вид 
, а скорректированные значения усилий при деформированной схеме определятся по формулам (3.12).
При учете геометрической нелинейности необходимо учитывать неравномерное распределение усилий между подвесками по длине пролета. Усилия в подвесках от временной нагрузки в загруженной и незагруженной зонах пролета могут отличаться в 2…3 раза. Максимальное расчетное усилие в подвесках на 20…30 % больше, чем это следует из обычно используемого допущения о сохранении параболического очертания кабеля в деформированном состоянии [4]. Такую неравномерность следует учитывать при назначении площади сечения подвесок, особенно при расчетах на выносливость. Можно принять 
.
Рассмотрим другой способ приближенного расчета по деформированной схеме [6]. Однопролетная висячая система с балкой жесткости
(рис. 3.15) загружена постоянной распределенной нагрузкой g, которая передается на кабель. Натяжение кабеля 
. Загружается весь пролет временной нагрузкой интенсивностью n, при этом часть нагрузки передается на кабель 
, а другая часть – на балку жесткости 
, т.е. 
.
Рис. 3.15. К расчету висячей системы по деформированной схеме:
а – расчетная схема; б – линии прогиба балки (1) и кабеля (2); в – линии прогиба балки и кабеля при двух точках совместности (3)
При дополнительном загружении натяжение кабеля возрастает до Н 1. Усилие в оттяжках увеличится на 
и от этого произойдет их удлинение на величину 
. Это удлинение
сопровождается смещением опорной точки кабеля на величину 
. Соответственно пролет кабеля уменьшается на 
.
Под влиянием изменившегося натяжения кабель удлиняется на величину 
. Составляется уравнение деформации кабеля на участке между пилонами:
. (3.74)
Входящие в выражение (3.74) составляющие равны:
; 
;
; 
; 
– определены выше.
Здесь 
– величина, на которую увеличилась стрелка провиса кабеля от временной нагрузки 
. Подстановка всех этих значений в выражение (3.74) и необходимые преобразования и допущения дадут:
. (3.75)
Подставив в (3.75) значения 
, 
, произведем преобразования:
.
Пренебрегая величиной 
по сравнению с 
, получим следующее выражение для дополнительного провиса кабеля в середине пролета
. (3.76)
На балку жесткости действует нагрузка 
. Отсюда прогиб балки в середине пролета составляет
. (3.77)
Однако в этом случае условие совместности деформаций удовлетворяется только в середине пролета, что видно из рис. 3.15, б, где сплошной линией показана линия прогиба балки (парабола четвертой степени), а пунктирной – линия провиса кабеля (квадратная парабола). В остальных точках условия совместности не удовлетворяются. Значительно перемещения разнятся примерно в четверти пролета.
Если исходить из условия равенства друг другу площадей, ограниченных двумя линиями прогибов кабеля и балки (рис. 3.15, в), то условия совместности совпадут в двух точках, и расхождения в других точках будут меньше. Тогда площадь, ограниченная линией провиса кабеля (квадратная парабола), составит
.
Площадь, ограниченная линией прогиба балки, составит
.
Приравнивая 
и 
, получим
. (3.78)
Сравнение значений 
, определяемых по формулам (3.77), (3.78), показывает, что их отличие не превышает 4%. Решая совместно уравнения (3.76) и (3.78), получим
. (3.79)
В этой формуле первое слагаемое знаменателя невелико по сравнению с двумя другими. Поэтому можно пользоваться упрощенным выражением:
. (3.80)
Из формулы (3.78) получим
. (3.81)
В выражениях (3.80), (3.81) значения 
, 
определяются на основании выполнения расчетов по недеформированной схеме.
Установив величины 
и 
по формулам (3.81), можно определить натяжение кабеля 
усилия в кабеле 
оттяжках 
подвесках 
и балке жесткости 
следующим образом:
1) натяжение кабеля 
от постоянной нагрузки интенсивностью g 
;
2) дополнительный провис кабеля в середине пролета 
от временной нагрузки 
при загружении всего пролета по формуле (3.80);
3) 
и 
по формулам (3.81);
4) фактическое натяжение кабеля с учетом временной нагрузки
; (3.82)
5) усилия в элементах висячей системы:
- максимальное усилие в кабеле 
;
- усилие в оттяжке 
;
- усилие в подвеске 
;
- усилие в пилоне 
;
6) изгибающий момент в середине пролета балки 
.
Расчет системы при загружении полупролета производится в два этапа. На первом этапе загружается весь пролет временной нагрузкой 
(рис. 3.16, а) и определяются прогиб середины кабеля 
по формуле (3.80), натяжение кабеля по формуле (3.82) и стрела кабеля 
.
Тогда можно принять 
и 
.
Рис. 3.16. К расчету висячей системы по деформированной схеме в четверти пролета: a – на первом этапе загружения; б – на втором этапе загружения
На втором этапе к системе прикладывается обратно симметричная временная нагрузка , направленная на левом полупролете вниз и на правом – вверх. Рассматривается левый полупролет как самостоятельная система в виде балки на двух опорах с пролетом 
(рис. 3.16, б).
При таком загружении на кабель передается нагрузка 
, на балку – 
; 
. Стрелка кабеля полупролета 
(рис. 3.16, а) увеличилась и стала равной 
. Тогда
. (3.83)
Стрелка увеличилась на величину 
, равную прогибу полубалки
. (3.84)
Величина 
имеет выражение:
. (3.85)
Общий прогиб балки жесткости в четверти пролета 
составит
. (3.86)
Действующие нормы проектирования мостов [10] ограничивают не абсолютные перемещения какой-либо точки пролетного строения, а сумму S z абсолютных перемещений данной точки вверх и вниз. При загружении полупролета временной нагрузкой балка получает S -образный прогиб, при котором амплитуда перемещения составит
. (3.87)
Изгибающий момент в балке в четверти пролета определится как
. (3.88)
Интерпретация изложенного выше способа раздельного учета временной нагрузки для кабеля и балки может быть рассмотрена для трехпролетной распорной (безраспорной) висячей системы с равными боковыми пролетами 
и неразрезными балками, имеющими одинаковую жесткость 
.
Трехпролетная неразрезная балка-аналог (рис. 3.17, а) загружена временной нагрузкой и осевой силой 
. Такая система дважды статически неопределима. Основная система выбрана в виде трехпролетной балки с шарнирами над средними опорами; лишние неизвестные – опорные моменты m 1 и m 2 (рис. 3.17, б).
Рис. 3.17. К расчету трехпролетного моста с неразрезными балками жесткости: а – балка-аналог; б – основная система балки-аналога; в – схема к определению усилий и прогибов балки-аналога; г – эпюра моментов в балке;
д – эпюра прогибов балки
Рассмотрим основной пролет (рис. 3.17, в), загруженный нагрузкой и моментами m 1 и m 2. Нагрузка определяется из условия
, (3.89)
где – полная интенсивность временной нагрузки; 
– коэффициент распределения, учитывающий ее долю, приходящуюся на кабель по выражению (Г.П. Передерий):
, (3.90)
где 
– момент инерции балки жесткости и площадь сечения кабеля, определенные по недеформированной схеме; 
– стрела провиса кабеля в среднем пролете 
; 
– длина оттяжки; 
– угол ее наклона к горизонту;
К – коэффициент, принимаемый в зависимости от отношения 
:
|
| 1/4 | 1/4,5 | 1/5 | 1/5,5 |
| К | 3,123 | 3,491 | 3,841 | 4,206 |
Опорные моменты m 1 и m 2 находятся (
) по формуле
. (3.91)
Максимальные моменты в пролетах:
- средний пролет 
;
- боковые пролеты 
.
Прогиб балки жесткости в центре среднего пролета:
. (3.92)
От действия временной нагрузки появляются горизонтальные продольные перемещения кабеля и продольное усилие в балке (распорные системы). Причина появления продольных сил в балке – кинематические свойства кабеля, горизонтальные движения которого приводят к перекосу подвесок. Если балка имеет на одном конце пролета неподвижную опорную часть, то горизонтальные перемещения и продольные усилия достигают максимумов при одностороннем загружении временной нагрузкой примерно половины пролета. Если временная нагрузка занимает полупролет со стороны подвижной опорной части, то балка растянута, если со стороны неподвижной – сжата.
Наибольшая по модулю продольная сила в балке находится по формуле [4]
, (3.93)
где 
– среднее горизонтальное перемещение кабеля; g – полный вес балки жесткости и расчетной временной нагрузки, для которой определена ; 
– стрелка кабеля, взятая на длине пролета балки; 
– длина самой короткой подвески 
.
Среднее горизонтальное перемещение кабеля при наличии на одном конце балки неподвижной опорной части определяется с помощью выражения [4]:
, (3.94)
или упрощенно по формуле
.
Здесь 
– пролет и стрелка кабеля; 
– прогибы балки в загруженной четверти и в середине пролета от временной нагрузки на половине пролета; 
– распор от временной нагрузки; 
– приведенная длина кабеля, включая оттяжки; 
– жесткость кабеля.
Продольная сила 
передается на неподвижную опорную часть и соизмерима с тормозной силой. При расчетах эти силы учитываются совместно (дополнительное сочетание нагрузок).
Если неподвижная опорная часть отсутствует, то 
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте общую характеристику аналитических методов деформационного расчета висячих мостов.
2. Приведите расчет гибких висячих мостов без учета деформаций.
3. Приведите расчет гибких висячих мостов по деформированной схеме.
4. Назовите основные положения расчета однопролетных висячих систем с балками жесткости по недеформированной схеме.
5. Назовите основные положения расчета трехпролетных распорных висячих систем с неразрезной балкой жесткости по недеформированной схеме.
6. Назовите основные положения расчета трехпролетных безраспорных висячих систем с неразрезной балкой жесткости по недеформированной схеме.
7. Назовите основные положения и способы приближенного расчета висячих систем с балкой жесткости по деформированной схеме.
4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ВАНТОВЫХ МОСТОВ
4.1. Статический расчет методами строительной механики
Вантовые системы с балками жесткости представляют собой многократно статически неопределимые системы, если ванты рассматривать как жесткие стержни с осевой жесткостью 
и с изгибной жесткостью 
» 0. При этом ванты работают на усилия обоих знаков и обеспечивают при любом загружении геометрическую неизменяемость системы.
Для расчета стержневых статически неопределимых систем в строительной механике применяются три метода:
– метод сил, когда основная система получается введением лишних неизвестных 
: усилий в вантах, изгибающих моментов в балке;
– метод перемещений, когда основная система получается путем введения жестких заделок в узлы конструкций; в качестве неизвестных используются углы поворота и перемещения этих заделок 
;
– смешанный метод, который представляет собой комбинацию двух предыдущих методов и использует частично и частично 
Указанные методы предполагают решение задачи в плоской постановке. Реальная задача расчета современных вантовых мостов гораздо сложнее, так как в них широко используются пространственные системы и балки жесткости, представляющие собой тонкостенные конструкции.
Расчет вантового моста требует последовательного использования расчетных схем, различных по уровню детализации проектируемой системы: плоская постановка задачи, далее пространственная расчетная схема и, наконец, пластинчато-стержневая модель балки, решаемая численными методами прикладной теории упругости. Сюда же следует отнести деформационный расчет пилона на устойчивость с учетом его неоднородности и начальных искривлений и др.
Подробно современная постановка расчета вантовых мостов (ВМ) изложена в [4], где отмечается, что наибольшее применение нашли методы конечных разностей и конечных элементов (МКЭ).
При проектировании вантовых и висячих мостов МКЭ успешно применяется для стержневых моделей плоского и пространственного типов. Он решает и специальные вопросы: распределение напряжений в местах анкеровки вант, развитие трещин в железобетонных балках и др. Важное преимущество метода – возможность формирования матриц жесткости, учитывающих ряд нелинейных эффектов. К основным недостаткам метода конечных элементов следует отнести большое число неизвестных, что затрудняет обозримость промежуточных и конечных результатов, а также внесение исправлений в процессе вычислений.
Поэтому разработка методик, основанных на использовании метода сил и смешанного метода, отнюдь не утратила актуальности, прежде всего, для оценки результатов сложных расчетов, а также для включения простых алгоритмов в более сложные.
Рис. 4.1. К расчету вантовых систем методом сил:
а, б – расчетные схемы; в, г – основные системы
Рассмотрим основные положения применения метода сил в расчетах вантовых мостов. Степень статической неопределимости вантовых систем с радиальным, веерным и параллельным расположением вант (рис. 4.1, а, б) для метода сил можно установить с помощью выражения [6]
(4.1)
где 
– количество вант, включая оттяжки; 
– количество опор балки жесткости; 
– количество подвижных опираний балки жесткости, включая шарниры в ней, а также подвижные опирания вант на пилонах 
=
= 
При выборе основной системы используются следующие приемы задания лишних неизвестных (рис. 4.1, в, г):
- разрез балки жесткости по оси симметрии (три лишних неизвестных Х 1, Х 2, Х 3);
- введение шарниров в балку жесткости над промежуточными опорами и в местах прикрепления вант Х 4;
- разрез вант: лишние неизвестные – усилия в вантах Х 5.
Учитывая, что в основной системе перемещения по направлению отброшенных связей равны нулю, составляется система канонических уравнений порядка j (j – число лишних неизвестных в заданной системе):
(4.2)
Здесь Х 1… Хj – лишние неизвестные; 
– коэффициенты при неизвестных (суть перемещения), определяемые по формуле Мора
где первое слагаемое – деформации изгиба балки жесткости по всей ее длине 
второе слагаемое – продольные деформации вант и пилонов 
причем деформациями пилонов можно пренебречь. Обычно 
так что 
Поэтому можно принять
при e = 1,05…1,1;
– грузовые члены (суть перемещения по направлению соответствующих связей от нагрузки) – изгиб балки от заданной нагрузки.
Для распорных вантовых систем необходимо учитывать дополнительные усилия от изменения температуры. В этом случае в (4.2) используются свободные члены от температурной нагрузки 
где 
длина элемента; a – коэффициент линейной деформации элемента; 
– повышение температуры, °С.
При расчетах вантовых систем с высокой степенью статической неопределимости (более 5) необходимо использование ЭВМ.
