Рассмотрим общий случай нахождения работы переменной силы, точка приложения которой движется по криволинейной траектории. Пусть точка М приложения переменной силы движется по произвольной непрерывной кривой. Обозначим через вектор бесконечно малого перемещения точки М. Этот вектор направлен по касательной к кривой в ту же сторону, что и вектор скорости.
Элементарной работой переменной силы на бесконечно малом перемещении называется скалярное произведение векторов и :
, (6.11)
где a - угол между векторами и .
То есть элементарная работа силы равна произведению модулей векторов силы и бесконечно малого перемещения, умноженному на косинус угла между этими векторами.
Разложим вектор силы на две составляющие: - направленную по касательной к траектории – и – направленную по нормали (рис. 6.2). Линия действия силы перпендикулярна касательной к траектории, по которой движется точка и ее работа равна нулю, тогда:
. (6.12)
Для того чтобы вычислить работу переменной силы на конечном участке кривой от a до b, следует вычислить интеграл от элементарной работы:
|
|
. (6.13)
a |
b |
ds |
Ft |
v |
Fn |
F |
a |
Рис. 6.2
Теорема. Работа равнодействующей системы сил на некотором пути равна сумме работ составляющих сил на том же пути.
Доказательство:
Пусть точка М приложения системы сил { , , ,… } перемещается из положения М0 в положение М1, кроме того, пусть
, (6.14)
то есть – равнодействующая системы сил (рис. 6.3).
Вычислим элементарную работу силы . Для этого умножим равенство (6.14) скалярно на :
, (6.15)
то есть элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих.
Представляя модули F1, F2, F3,... Fn как функции s и интегрируя выражение (6.15) в соответствующих пределах, получим
. (6.16)
Поскольку , ,..., , окончательно имеем
, (6.17)
что и требовалось доказать.
a |
b |
ds |
F1 |
Fn |
F2 |
F3 |
R |
M1 |
M0 |
Рис. 6.3