Особенностях расчета переходных процессов

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ

Классический метод расчета переходных процессов сводится к следующему:

1. На схеме цепи после коммутации указывают положительные направления токов в ветвях. Затем на основании законов Кирхгофа составляют систему уравнений для мгновенных значений токов и напряжений переходного режима. Так как падение напряжения на сопротивлении u_R = iR, на индуктивности u_L = Ldi / dt и на емкости u_C =1/ C ò idt, то по законам Кирхгофа будет составлена система интегрально – дифференциальных уравнений заданной цепи.

2. Полученную систему уравнений решают относительно искомой функции (тока или напряжения). В результате получают неоднородные линейные дифференциальные уравнения, порядок которых равен числу независимых реактивных элементов в схеме. В случае двух реактивных элементов в последовательной цепи получают дифференциальное уравнение a + b + ci = f (u),

где a, b, c - коэффициенты, зависящие от параметров цепи; f (u) - неоднородный член уравнения, зависящий от величины и формы приложенного к цепи напряжения.

3. Решают неоднородные дифференциальные уравнения, в результате чего находят искомый ток или напряжение переходного процесса.

Решение дифференциального уравнения складывается из общего решения однородной части этого уравнения (правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого видом функции f (u).

Частное решение выражает принужденный режим, задаваемый источниками электрической энергии, а общее решение – свободный режим. Таким образом ток переходного процесса i = i_пр + i_св, а напряжение u = u_пр + u_{св .}

Принужденные составляющие токов и напряжений совпадают с установившимися значениями этих величин после окончания переходных процессов.

Характер переходного процесса зависит от параметров цепи и определяется корнями характеристического уравнения ap² + bp + c = 0.

Если корни вещественные, отрицательные и разные (р ₁<0; р ₂<0), то режим будет апериодическим, а свободная составляющая тока запишется в виде .

Если корни комплексные и сопряженные (р ₁= – d + jw ₁; p ₂= ‑ d ‑ jw ₁), то в цепи будет колебательный режим, а свободная составляющая тока будет i _св = A e^{-d t} sin(w ₁ t + g).

При наличии равных отрицательных корней (p ₁= p ₂= p < 0) возникает критический режим, при котором свободный ток запишется в виде i_св = (A ₁ + A ₂ t) e^{p t}.

Для определения постоянных интегрирования А; А ₁; А ₂; g необходимо определить ток и его производную в момент коммутации (t =0). Для этого сначала определяют начальные значения тока в индуктивном элементе и напряжения на емкостных элементах путем расчета цепи до коммутации и использования законов коммутации. Подставляя эти значения в исходные дифференциальные уравнения и полагая t =0, определяют начальные значения свободных составляющих токов.

Производная от тока в индуктивности находится непосредственно из уравнения, написанного для контура, в который входит ветвь с индуктивностью.

Производные от токов в других ветвях схемы определяются из уравнения, в котором нет ветви с индуктивностью, после его дифференцирования и перехода к t =0, причем напряжение на конденсаторе нужно писать в форме интеграла u_c = ,

что дает .

В некоторых случаях нужно использовать и первый закон Кирхгофа для производных от токов .

Корни характеристического уравнения находятся из входного сопротивления в операторной форме Z (p)=0.

Операторный метод расчета переходных процессов заключается в том, что функция f (t) (обычно ток i (t) или напряжения u (t) вещественного переменного t (времени), называемая оригиналом, заменяется соответствующей функцией F (р) комплексного переменного р, называемой изображением.

Указанные функции связаны соотношением , которое называется прямым преобразованием Лапласа. Сокращенно это записывается как .

При переходе к изображению дифференциальные и интегральные уравнения преобразуются в алгебраические.

Постоянное напряжение U будет записываться в операторной форме как U (p)= U/p.

Операторные сопротивления цепей записываются так же, как и сопротивления для тех же цепей в комплексной форме, в которых jw заменено на р.

Так, для цепи, состоящей из последовательно включенных элементов R, L и С, операторное сопротивление имеет вид

Z (p) = R + pL + .

Напряжения на сопротивлении U_R(p), индуктивности U_L(p) и емкости U_C(p) в операторной форме

U_R (p) = R I (p); U_L = p L I (p) – L i (0); U_C (p) = ,

где i (0) и U_C (0) – начальные значения тока в индуктивности и напряжения на емкости.

Уравнения для изображений тока и напряжения любой цепи могут быть получены по законам Ома и Кирхгофа, написанных для операторных схем замещения.

Полученную систему уравнений в операторной форме решают относительно изображения искомого тока или напряжения. В общем случае выражение для токов любой ветви в операторной форме имеет вид

I (p) = ,

где F ₁(p) и F ₂(p) – алгебраические многочлены, степени которых соответственно m и n, причем m < n.

Переход от изображения к оригиналу осуществляется при помощи теоремы разложения: ,

где р_к – корни уравнения F ₂(p) = 0; n – число корней; F ₁(p_k) – значение функции при р = р_к; F ¢₂(p_k) – значение производной функции F ₂(p_k) при р = р_к.