Уравнения, что сводятся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Когда уравнение

(1)

не является уравнением в полых дифференциалах, т.е. ,удается подобрать некоторую функцию , такую что уравнение:

(2)

становится уравнением в полных дифференциалах. Общее решение полученного таким образом уравнения (2) совпадает с первоначальным решением уравнения (1). Функция - наз. интегрирующим множителем уравнения (1).

Для того, чтобы уравнение (2) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:

(3) - уравнение в частных производных 1-го порядка с неизвестной функцией . Всякая функция удовлетворяющая уравнению (3) является интегрирующим множителем уравнения (1). Рассмотрим некоторые частные случаи, когда удаётся найти :

1) Случай интегрирующего множителя, зависящего только от : , тогда и из (3) следует: - обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором - функция от . В противном случае интегрирующего множителя вида не существует.

2) Случай интегрирующего множителя, зависящего только от : , тогда и из (3) следует : - обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором - функция от . В противном случае интегрирующего множителя вида не существует.