Свойства предала функции

Пусть даны функции и .

· Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

Доказательство [показать]

· Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

где — проколотая окрестность точки .

· В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

· Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

· Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

· Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

· Правило двух милиционеров

· Предел суммы равен сумме пределов:

· Предел разности равен разности пределов:

· Предел произведения равен произведению пределов:

· Предел частного равен частному пределов.

Бесконечные пределы в конечной точке

Кроме конечных пределов существуют и бесконечные.
Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки а из множества действительных чисел, кроме, быть может, самой точки а, имеет в этой точке бесконечный предел, если для каждого ε > 0 найдется такая δ - окрестность точки а, что всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x - a | < δ, х ≠ а выполняется неравенство | f (x) | > ε.
В этом случае записывают:

Функцию f(x) принято называть бесконечно большой при х → а, а прямую х = а - вертикальной асимптотой.

Пример. Рассмотрим функцию

Эта функция определена при х ≠ 0. Если х → 0, то | f(x) | неограниченно возрастает, т.е.

Предел в бесконечности

Число А называется пределом функции f(x) при x → + ∞, если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что всех x > δвыполняется неравенство | f (x) – A | < ε. И это записывается как

Аналогично формулируется определение предела при x, стремящемся к минус бесконечности: число А называется пределом функции f(x) при x → - ∞, если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что всех x < - δ выполняется неравенство | f (x) – A | < ε.

Число А называется пределом функции f(x) при x → ∞, если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что всех | x | > δ выполняется неравенство | f (x) – A | < ε.

При решение некоторых пределов полезно обращаться к так называемым замечательным пределам:

Из замечательных пределов и свойств обратной функции вытекают следующие важные пределы (при a > 0, a ≠ 1):

Односторонние пределы

Пусть задано а - действительное число.
Число А₁ является пределом слева функции f (x) в точке а, для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого x из интервала (а - δ; а) выполняется неравенство | f(x) - A₁ | < ε. В этом случае пишут lim f(x) = A₁ при x → a - 0.

Число А₂ называется пределом справа функции f (x) в точке а, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого x из интервала (а; а + δ) выполняется неравенство | f(x) - A₂ | < ε. В этом случае пишут
lim f(x) = A₂ при x → a + 0. При а = 0 принята краткая запись х → +0 (х → -0) вместо х → 0 + 0 (х → 0 - 0).

Числа А₁ и А₂ принято называть о дносторонними пределами.Эти пределы характерезуют поведение функции справа и слева от точки А.

Из всего сказанного выше получается,что функция f (x) имеет предел в точке а из множества действительных чисел тогда и только тогда, когда в этой точке она имеет односторонние пределы и эти пределы совпадают.