Единственность предела

Если предел f(x) стремящийся к а сущестует, то он единственный.

Данная теорема доказывается от противного. Предполагается, что у некоторой последовательности имеется два предела a и b. Берем число e так, чтобы интервал (a – e; a + e)не пересекался с (b – e; b + e). По определению предела с некоторого номера N_a все члены последовательности должны находится в (a – e; a + e), однако по этому же определению с некоторого номера N_b все члены последовательности должны находится в (b – e; b + e), но члены последовательности не могут находится одновременно в этих интервалах, т.к. интервалы не пересекаются.

· Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

· Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

· Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

· Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.