Признаки параллельности двух прямых

Существуют 3 признака параллельности двух прямых:

1) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Прямые a и b пересечены прямой. Если выполняется хотя бы одно их следующих условий: Ð4=Ð6; Ð3=Ð5, то согласно признаку 1, a ║ b.

2) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Если выполняются хотя бы одно из условий: Ð1=Ð5; Ð2=Ð6; Ð4=Ð8; Ð3=Ð7, то по признаку 2 прямые a ║ b.

3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

Если выполняется хотя бы одно из условий Ð4+Ð5=180º; Ð3+Ð6=180º, то по признаку 3 прямые параллельны a ║ b.

Докажем 1-ий признак: Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: Ð1=Ð2. Докажем, что a||b. Если углы 1 и 2 прямые, то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой а. На прямой b от точки В отложим отрезок ВН₁ равный отрезку AH, как показано на рисунке, в, и проведем отрезок OH₁. Треугольники ОНА и ОН₁В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН=BH₁ Ð1=Ð2), поэтому Ð3=Ð4 и Ð5=Ð6. Из равенства Ð3=Ð4 следует, что точка Н₁ лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н₁ лежат на одной прямой, а из равенства Ð5=Ð6 следует, что угол 6— прямой (так как угол 5 — прямой). Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой HH₁ поэтому они параллельны.

Запись на доске.

Дано: а,b – прямые, АВ – секущая, Ð1=Ð2 – накрест лежащие

Доказать: а || b

Доказательство. 1) Ð1=Ð2=90⁰ ═> а AB и b AB ═> а || b.

2) Ð1=Ð2≠90⁰. О середина АВ. ОН а. Доп. построение: ВН₁ = AH, OH₁.

ΔОНА =ΔОН₁В (по 1 признаку.) (АО = ВО, АН=BH₁ Ð1=Ð2) ═>

Ð3=Ð4 ═> Н, О и Н₁ лежат на одной прямой

и Ð5=Ð6=90⁰ Итак, прямые а HH₁ и b HH₁ ═> а || b