Теорема о пределе монотонной ограниченной функции

f (x) называется 1) возрастающей на X, 2) убывающей на X, 3) невозрастающей на X, 4) неубывающей на X,

если " и Î X, < :

1) f () < f (),

2) f () > f (),

3) f () ³ f (),

4) f () £ f ().

Функции 1) - 4) называются монотонными на X,

функции 1) - 2) называются строго монотонными на X.

Примеры:

1) f (x) = - возрастающая на [0, + ¥].

2) f (x) =[x]- неубывающая на (-¥, ¥).

Пусть f (x)- ограниченна сверху на X, то есть $ M >0, " x Î X: f (x) £ M. Число М называется верхней гранью функции f (x) на множестве Х. Наименьшая из верхних граней ограниченной сверху на X f (x) называется её точной верхней гранью и обозначается f (x).

Эквивалентное определение:

Число M называется точной верхней гранью f (x) на X, если:

1) " x Î X: f (x) £ M.

2) " < M $ Î X: f () > .

[7] Сформулировать аналогичное определение точной нижней грани функции. f (x).

Пример:

1) sin x = 1, sin x = 0.

2) sin x = 1, sin x = 0.

Различие случаев 1) и 2) в том, что в случае 1) функция принимает значения, равные Sup и Inf, а во втором не принимает.