Равенство (7) называется остаточным членом в общей форме

Доказательство.

Введем обозначение: P_n (x) = f (x ₀) + … + (x – x ₀) ⁿ º j (x, x ₀). Возьмем " x ¹ x ₀ из указанной в условии теоремы окрестности точки x ₀. Пусть для определенности x > x ₀.

(здесь рисунок)

x – фиксированное. Возьмем какое-нибудь p > 0. Числовую переменную, изменяющуюся на сегменте [ x ₀, x ], обозначим буквой t: x ₀ £ t £ x, и введем функцию:

y (t) = f (x) - j (x, t) - = f (x) - j (x, t) - R_{n +1}(x).

y (t) на [ x ₀, x ] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

y (t) = f (x) - [ f (t) + (x – t) + (x – t)² + … + (x – t) ⁿ ] - R_{n +1}(x).

1) Так как f (x) n +1 раз дифференцируема, то y (t) непрерывна на [ x ₀, x ],

2) y (t) дифференцируема в интервале (x ₀, x),

3) y (x ₀) = f (x) - j (x, x ₀) - [ f (x) - j (x, x ₀)] = 0,

y (x) = 0, y (x ₀) = y (x). По теореме Ролля, $ x Î (x ₀, x): y ’(x) = 0.

y ’(t) = - [ f ’( t ) - f ’( t ) + f ’’( t )( x – t ) - f ’’( t )( x – t ) + ( x – t )² - … + … - (x – t) ^{n -1}+

+ (x – t) ⁿ ] + p R_{n +1}(x).

Полагая t = x, получаем:

y ’(x) = (x – x) ⁿ + p R_{n +1}(x) = 0.

R_{n +1}(x) = . (7)