2015-04-20
1554
Для каждого исследования выбирается вероятность γ ( γ = 1 - α ), называемая доверительной вероятностью (надежностью, вероятностью безошибочного прогноза). Она обычно близка к 1, при которой событие можно считать практически достоверным, например, 0,95; 0,99.
Интервал (`x –Δ; `x +Δ), отвечающий выбранной доверительной вероятности γ, называют доверительным интервалом. Граничные
значения (`x -Δ и `x +Δ) – доверительными границами.
Чем больше число γ, тем выше надежность, т.е. полученная оценка является более достоверной. В то же время, для более точной оценки мы заинтересованы в малой величине доверительного интервала.
В случае нормального распределения доверительные интервалы оказываются симметричными относительно соответствующей точечной оценки параметра (среднего).
Истинное значение параметра (с надежностью γ) в генеральной совокупности находится где-то внутри доверительного интервала. Разность между точной оценкой среднего (медианы, моды) в генеральной совокупности и значением этого параметра в выборке не превышает длины интервала и называется ошибкой выборки (µ). Наибольшую из возможных ошибок называют предельной ошибкой выборки (∆), она характеризует точность оценки, равна половине доверительного интервала и находится по формуле:
|
|
|
∆ = Т*µ,
где µ - ошибка среднего выборки,
Т – коэффициент Стъюдента, зависящий от надежности γ, равный εγ для больших выборок (его значения приведены ниже) или tγ для малых выборок (представлен в таблице 3.1).
Таким образом, пользуясь таблицами для εγ и tγ, по известному значению надежности γ можно найти доверительные интервалы для средней или относительной величины, используя формулы:
Для средней величины - `x ген =`x выб ± Т ∙ µ `x,
Для относительной величины – Υген = Υвыб ± Т ∙ µy,
где `xген – средняя величина признака в генеральной совокупности,
`xвыб – средняя величина, полученная при анализе выборочной совокупности,
Υген – относительная величина в генеральной совокупности,
Υвыб – относительная величина, полученная в результате анализа выборочной совокупности,
µy – ошибка относительной величины, µ`x – ошибка средней величины,
Т – доверительный коэффициент, зависящий от надежности и объема выборки.
При N ≤ 30: α = 0,05 (5%) ⇒ γ = 95%
α = 0,01 (1%) ⇒ γ = 99% Т= tγ
α = 0,001 (0,1%) ⇒ γ = 99,9%
Значение критерия ty находится по таблице значений коэффициента Стьюдента, в зависимости от числа наблюдений (таблица 3.1).
| α = 0,05 (5%) | ⇒ | γ = 95% | } | Т= εγ = 1,96 |
| α = 0,01 (1%) | ⇒ | γ = 99% | Т= εγ = 2,7 | |
| α = 0,001 (0,1%) | ⇒ | γ = 99,9% | Т= εγ = 3,6 |
При N >30:
|
|
|
Таблица 3.1. Значения коэффициента Стьюдента (Т= tγ) при малом числе наблюдений (при N ≤ 30)
| N - 1 | Уровень вероятности безошибочного прогноза | ||
| γ = 95% | γ = 99% | γ = 99,9% | |
| 12,7 | 63,6 | 636,6 | |
| 4,3 | 9,9 | 31,6 | |
| 3,1 | 5,8 | 12,9 | |
| 2,7 | 4,6 | 8,6 | |
| 2,5 | 4,0 | 6,8 | |
| 2,4 | 3,7 | 5,9 | |
| 2,3 | 3,5 | 5,4 | |
| 2,3 | 3,3 | 5,1 | |
| 2,2 | 3,2 | 4,7 | |
| 2,2 | 3,1 | 4,6 | |
| 2,2 | 3,1 | 4,4 | |
| 2,2 | 3,0 | 4,3 | |
| 2,1 | 3,0 | 4,2 | |
| 2,1 | 2,9 | 4,1 | |
| 2,1 | 2,9 | 4,0 | |
| 2,1 | 2,9 | 4,0 | |
| 2,1 | 2,8 | 3,9 | |
| 2,1 | 2,8 | 3,9 | |
| 2,0 | 2,8 | 3,8 | |
| 2,0 | 2,8 | 3,8 | |
| 2,0 | 2,8 | 3,8 | |
| 2,0 | 2,8 | 3,7 | |
| 2,0 | 2,8 | 3,7 | |
| 2,0 | 2,7 | 3,7 | |
| 2,0 | 2,7 | 3,7 | |
| 2,0 | 2,7 | 3,7 | |
| 2,0 | 2,7 | 3,6 | |
| 2,0 | 2,7 | 3,6 | |
| 2,0 | 2,7 | 3,6 | |
| 2,0 | 2,7 | 3,6 |
