2015-04-20
237
Дифференциальные уравнения часто выступают в качестве непрерывных математических моделей для многих прикладных задач. В некоторых случаях требуется не только найти решение дифференциального уравнения, но и определить для этого решения экстраполированное значение зависимой переменной при указанном значении независимой переменной.
Пример 6.1.
Для проведения оздоровительной процедуры в соляной ванне используются баки с соляным раствором. В первом баке находилось 100л. раствора, содержащего 10кг соли. В него втекает 5л. воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально заполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Какое количество соли во втором баке будет наибольшим?
Решение.
Пусть Q1(t), Q2(t) – количество соли в кг в первом и втором баке соответственно в момент времени t от начала переливания, 
– время переливания соли из первого бака во второй, а также время выливания соли из второго бака.
Тогда имеем
(
;
где 
|
|
|
Из последнего уравнения получим при 
, откуда
.
Поскольку Q1(0) =10, то решение задачи
.
Аналогично, используя первое уравнение для Q2(t),
имеем 
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его частное решение Q2(t) находится при условии Q2(0)=0.
Исследуя функцию Q2(t) на экстремум, найдем сначала максимальное время tmax, а затем уже экстраполированное значение Q2max=Q2(tmax).
