При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами для многократного использования при решении задач. Возникающие при этом процессы называются процессами обслуживания, а системы – системами массового обслуживания.
Каждая такая система состоит из определенного числа обслуживающих единиц – каналов, а заявки, поступающие в систему массового обслуживания, образуют случайный поток.
Процесс работы системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс с дискретным состоянием S0, S1…, в которые она переходит скачками.
При анализе случайных процессов удобно пользоваться ориентированными графиками состояний.
Поток поступающих заявок характеризуется интенсивностью , то есть средним числом заявок, поступающих на канал в единицу времени.
Обычно рассматривается простейший поток, который является стационарным, регулярным и не имеет последствия.
Среднее относительное время пребывания системы массового обслуживания в состоянии Si определяется с помощью предельной вероятности pi. Наряду с потоком заявок интенсивности рассматривается также простейший поток обслуживания заявок каналом интенсивности .
|
|
Системой массового обслуживания с неограниченной очередью называется такая система, в которой заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание, причём, размер очереди заранее неизвестен.
n- канальная система с неограниченной очередью может находиться в одном из состояний S0, S1….,Sn…, Snn…, нумеруемых по числу заявок:
S0– в системе нет заявок;
S1– занят один канал, остальные свободны;
...........................................................................
Sn – заняты все nканалов (очереди нет);
....................................................................
Sn+r – заняты все nканалов, в очереди r заявок;
...................................................................................
Граф состояний системы представлен на рис. 3.1.
S0 S1 Sn Sn+2
… µ 2µ... nµ nµ… nµ nµ nµ
Рис. 3.1
Предельные вероятности состояний вычисляются по следующим формулам
-2 (3.1)
p1 = (3.2)
pn+1= (3.3)
где
Величина называется интенсивностью нагрузки канала и выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки.
При предельной вероятности pi существуют, в противном случае очередь растёт до бесконечности. Помимо предельных вероятностей к основным показателям эффективности работы такой системы относятся:
вероятность появления заявки в очереди
среднее число заявок в очереди
P04 = (3,4)
среднее время пребывания заявки в очереди
L04= (3,5)
Среднее время пребывания заявки в очереди
|
|
T04 = L04 (3,6)
среднее число заявок в системе
Lсист =L04 + (3,7)
среднее время пребывания заявки в системе
= (3.8)
доля заметных обслуживанием каналов
= (3.9)
Пример 3.1.
В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью
=81 чел./час. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного покупателя 2 = 2
Определить:
1) минимальное количество nmin кассиров, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие показатели эффективности при n=nmin;
2) оптимальное количество nопт кассиров, при котором относительная величина затрат Cотн= будет минимальна при условии, что
n ≤ 7.
Решение.
=81 1/час = 81/60 =1,351/мин., μ= =0,51/мин, откуда 1,35/0,5 = 2,7.
Очередь не будет возрастать если /n следовательно, n>ρ= 2,7. Таким образом, минимальное количество кассиров = 3.
Найдем показатели эффективности при . Вероятность того, что в узле расчета будут отсутствовать покупатели, равно =(1+2,7+ /2!(2,7)3/3!+(2.7)4/3!(3-2,7))-1=0,025 (см. формулу (3.1)). Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, среднее число покупателей, находящихся в очереди и средние время ожидания в очереди определяются по формулам (3.4) – (3.6):
0,025= 0,735
04 = ((2,7)4/3 1-2,7/3)20,025=7,35
T04=7,35/1,35=-5?44(мин).
Показатели эффективности пребывания покупателей в узле расчёта
находятся по формулам (3,7), (3,8):
Lсист= 7,35+2,7=10,05
Тсист= 10,05/1,35=7,44(мин)
Наконец, среднее число кассиров, занятых обслуживанием покупателей
= 2,7/3=0,9 (см. формулу (3.9)).
Таким образом, при наличии только трёх кассиров узел расчета значительно перегружен.
Относительная величина затрат при равно =3/1,35+3·5,44=18,54.
Рассчитав относительную величину затрат при других значениях результаты можно записать в таблицу:
n | |||||
Cотн | 18,54 | 4,77 | 4,14 | 4,53 | 5,22 |
Из таблицы видно, что минимальные затраты могут быть получены при n = nопт = 5 кассирах.
Полученная информация может быть использована дирекцией универсама для проведения в дальнейшем реорганизационных работ.