Метод Ньютона

1 2 3 4 5 6 7

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

(1.1)

с действительными левыми частями.

Запишем короче систему (1.1). Совокупность аргументов можно рассматривать как - мерный вектор

Аналогично совокупность функций представляет собой также - мерный вектор (вектор-функцию)

Поэтому система (1.1) кратко записывается так:

. (1.1^/)

Для решения системы (1.1^/) будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, что найдено -е приближение

одного из изолированных корней векторного уравнения (1.1^/).

Тогда точный корень уравнения (1.1^/) можно представить в виде

, (1.2)

где - поправка (погрешность корня).

Подставляя выражение (1.2) в уравнение (1.1^/), будем иметь:

. (1.3)

Предполагая, что функция непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей и , разложим левую часть уравнения (1.3) по степеням малого вектора , ограничиваясь линейными членами,

. (1.4)

или, в развернутом виде,

(1.4^/)

Из формул (1.4) и (1.4^/) вытекает, что под производной следует понимать матрицу Якоби системы функций относительно переменных , т.е.

или в краткой записи

Система (1.4^/) представляет собой линейную систему относительно поправок с матрицей , поэтому формула (1.4) может быть записана в следующем виде:

Отсюда, предполагая, что матрица - неособенная, получим:

Следовательно,

, (1.5)

где за можно взять грубое значение искомого корня.

При практическом применении метода Ньютона для решения нелинейных систем вычисления по формуле (1.5) прекращают, когда

. (1.6)

Итак, исходя из вышеизложенного, запишем алгоритм метода Ньютона:

1. Определяем начальное приближение .

2. Уточняем значение корня по формуле (1.5).

3. Если условие (1.6) выполняется, то задача решена и - корни системы нелинейных уравнений, иначе переходим к п. 2.

Будем считать, что функции нелинейной системы (1.1^/) и матрица их производных уже определены, тогда блок-схема алгоритма решения этой системы имеет вид:

1.2. Реализация метода Ньютона в|посредством| MathCad

Пример. Решить нелинейную систему уравнений методом Ньютона

с точностью .

Приведем решение нелинейной системы уравнений с помощью|посредством| программного комплекса MathCad:

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в MathCad в переменной ORIGIN. По умолчанию в MathCad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем выполнять команду ORIGIN:=1. Далее определяем функции F1 и F2 нелинейной системы и находим графическое решение системы.

Процесс отыскания корней системы при помощи метода Ньютона организован в виде функции, входные параметры которой – вектор начальных приближений x0 и точность вычислений (), где за x0 можно взять грубое значение искомого корня – приблизительные координаты точки пересечения графиков функций: – грубое значение первого корня, затем – грубое значение второго корня.