Одномерный элемент с кусочно-линейными базисными функциями

Рассмотрим как определяются кусочно-линейные базисные функции при решении одномерной задачи на отрезке . Разобьем этот отрезок узлами на конечные элементы , , – длина (шаг сетки). Каждому внутреннему узлу ставится в соответствие кусочно-линейная функция

.

Для граничных узлов , базисные функции имеют вид

, .

Базисные функции на элементе также называют функциями формы. Например, на рис. 1 представлены функции формы на отрезке для равномерной сетки из трех элементов. Аппроксимируемая функция представляется в виде , где коэффициенты находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений.

Важнейшими являются следующие свойства функции форм:

1. Функция равна единице в узле и нулю во всех других узлах.

2. Функция отлична от нуля только для элементов, содержащих узел .

Выясним физический смысл коэффициентов . Рассмотрим один конечный элемент . На элементе ненулевыми будут две базисные функции и (см. рис. 2, пунктиром показаны части функции, лежащих вне элемента), поэтому

.

Решение должно удовлетворять уравнению в узлах, то есть , . Если подставить и в выражение для получим , . То есть при таком выборе базисных функций, когда базисная функция равна единице в одном узле и нулю во всех других узлах, неизвестные коэффициенты являются значениями функции в узлах , то есть .

Пример

Решить краевую задачу методом конечных элементов

, .

Прежде всего запишем интегральную формулировку для данного уравнения с помощью метода взвешенных невязок. Разбиваем отрезок на элементов с числом узлов . Число базисных функций равно . Невязка

.

Запишем сначала условие равенства нулю невязки в общей форме

и, интегрируя по частям, понизим порядок производной под знаком интеграла

.

Понижение порядка дифференцирования под знаком интеграла – обычная процедура за счет которой можно ослабить требования на гладкость базисных функций. После интегрирования по частям от функций требуется только непрерывность базисных и весовых функций.

В методе взвешенных невязок весовая функция выбирается равной базисной , . В первом слагаемом заменять на сумму не будем (это слагаемое уйдет позже за счет граничных условий)

.

Кусочно-линейные базисные функции удовлетворяют требованию гладкости, так как они непрерывные. Слева выносим коэффициенты за знак интеграла. Получим

,

где . Вводя обозначения

,

, , ,

, ,

получим систему линейных алгебраических уравнений

, , .

Заметим, что входящие в аппроксимирующие уравнения определенные интегралы могут быть получены простым суммированием их вклада по каждому элементу

.

Вклад интеграла по элементу с узлами и можно вычислить в общей форме. Причем формула для однотипных элементов будет одна и та же.

На элементе отличными от нуля функциями будут только функции , (рис. 2), то есть, если , то на . Оценим вклад произвольного элемента в сумме . Получим

, если ,

,

,

, , , .

, .

, ,

, .

Элементная матрица для элемента имеет вид

Вычислив компоненты матрицы элемента простым суммированием по всем элементам, получим матрицу .

Процесс формирования глобальной матрицы системы и глобального вектора правых частей в методе конечных элементов называется ансамблированием (или сборкой). Матрицу системы принято называть матрицей жесткости.

Запишем вид системы, например, для трех элементов и четырех узлов. Предположим, что все элементы имеют равную длину , тогда матрица жесткости приобретает вид

, .

Вычислим вклад элемента в вектор правых частей (отличными от нуля на элементе будут вклады при , )

,

.

Заметим, что в точке и не равны нулю только базисные функции и . Элементные векторы правых частей для первого элемента, для внутреннего элемента и для последнего элемента имеют вид (ненулевые значения стоят в позиции )

, , .

Для примера из трех элементов после сложения всех элементных векторов, получим глобальный вектор вида

.

Значения производных в первом и последнем элементе вектора правых частей неизвестны, но далее вместо первого и последнего уравнений используем уравнения граничных условий , . Для симметричной матрицы системы граничные условия следует вносить следующим образом. Отметим, что до внесения граничных условий получаемая матрица системы вырождена.

Учет граничных условий с сохранением симметрии матрицы системы.

Пусть в МКЭ получена СЛАУ с симметричной матрицей и необходимо учесть условие . Преобразование системы уравнений представляет собой двухшаговую процедуру. Пусть, например, известно значение ; преобразование сводится тогда к следующему:

1. Все коэффициенты пятой строки матрицы, за исключением диагонального, приравниваются к нулю при и . Диагональный коэффициент приравнивается к единице . Пятая компонента вектора заменяется на значение .

2. Из компонент вектора правых частей, кроме пятой компоненты, вычитается произведение пятого столбца матрицы на значение , затем пятый столбец матрицы (кроме диагонального элемента) обнуляется: , , , .