Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения

1. Биномиальное распределение.

Для дискретной случайной величины Х, представляющей собой число появлений события А в серии из п независимых испытаний (см. лекцию 6), М (Х) можно найти, используя свойство 4 математического ожидания. Пусть Х ₁ – число появлений А в первом испытании, Х ₂ – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Х_i задается рядом распределения вида

Xi
pi	q	p

Следовательно, М (ξ _i) = p. Тогда

Аналогичным образом вычислим дисперсию: D (ξ _i) = 0²· q + 1²· p – p ² = p – p ² = p (1 – p), откуда по свойству 4 дисперсии

2. Закон Пуассона.

Если р (ξ = т) = , то М (ξ) = (использовалось разложение в ряд Тейлора функции е^х).

Для определения дисперсии найдем вначале М (ξ ²) =

=

Поэтому D (ξ) = a ² + a – a ² = a.

Замечание. Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру а, определяющему распределение).

3. Геометрическое распределение

4. Равномерное распределение.

Для равномерно распределенной на отрезке [ a, b ] непрерывной случайной величины то есть математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка [ a, b ].

Дисперсия

.

5. Нормальное распределение.

Для вычисления математического ожидания нормально распределенной случайной величины воспользуемся тем, что интеграл Пуассона .

(первое слагаемое равно 0, так как подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля).

.

Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответствен-но математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению исследуемой случайной величины.

Тема 10. Системы случайных величин, функция распределения.

Случайные векторы (системы нескольких случайных величин). Закон распределения веро-ятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения и плот-ность распределения двумерной случайной величины, их свойства. Вероятность попада-ния случайной точки в произвольную область. Отыскание плотностей вероятности со-ставляющих двумерной случайной величины. Равномерное распределение на плоскости.

Наряду с одномерными случайными величинами, возможные значения которых определяют-ся одним числом, теория вероятностей рассматривает и многомерные случайные величины. Каждое возможное значение такой величины представляет собой упорядоченный набор нескольких чисел. Геометрической иллюстрацией этого понятия служат точки п -мерного пространства, каждая координата которых является случайной величиной (дискретной или непрерывной), или п -мерные векторы. Поэтому многомерные случайные величины называют еще случайными векторами.