Основные типы распределений ДСВ

1) Равномерное дискретное распределение.

Пусть случайная величина Х принимает в результате опыта n различных значений с равными вероятностями. Говорят, что случайная величина Х имеет равномерное дискретное распределение.

Ряд распределения:

		…
		…

P(X =

Проверка: ,

Математическое ожидание:

– среднее арифметическое возможных значений.

Таким образом: .

Дисперсия:

– среднее арифметическое квадратов возможных значений.

Таким образом:

Пример:

Пусть Х - число очков, выпавших при бросании игрального кубика.

2) Геометрическое распределение.

Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью р (не наступить - с вероятностью q =1- p).

Опыты продолжаются до первого появления события А – «до первого успеха».

Случайная величина Х - число произведённых опытов. Говорят, что Х имеет геометрическое распределение.

Ряд распределения:

		…	i	…
p	q ∙ p	…		…

P(X =

Проверка:

(выражение в скобках представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен

Математическое ожидание:

Таким образом, .

Дисперсия:

Можно показать, что .

Замечание:

Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина Х - число объектов, обладающих заданным свойством, среди k объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности n объектов, ℓ из которых обладают этим свойством.

Можно показать:

математическое ожидание ;

дисперсия .

Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приемного контроля качества промышленной прдукции, в задачах, связанных с организацией выборочных обследований …

3) Распределение Бернулли (биномиальное распределение).

Случайная величина Х - это число появлений события А в n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях – «число успехов».

Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна p (вероятность не появления q =1- p).

Ряд распределения:

		…	m	…	n
		…		…

Вероятности возможных значений случайной величины Х определяются по формуле Бернулли:

Проверка:

Для определения числовых характеристик введём в рассмотрение случайную величину – число «успехов» в i -ом испытании.

q	p

Так как испытания независимые, а случайная величина , то, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, можно получить:

математическое ожидание ,

дисперсия .

Пример:

Случайная величина Х – число промахов при 50 независимых друг от друга выстрелах. Вероятность промаха 0,06. Найти числовые характеристики распределения случайной величины Х.

Случайная величина Х имеет биномиальное распределение. Тогда:

4) Пуассоновское распределение.

Рассмотрим случайную величину Х, которая может принимать только целые неотрицательные возможные значения 0,1,2,…(последовательность этих значений теоретически не ограничена). Говорят, что случайная величина Х распределена по пуассоновскому закону, если вероятности возможных значений находятся по формуле Пуассона: где - некоторая положительная величина, называемая параметром пуассоновского распределения.

Ряд распределения:

			…	m	…
			…		…

Проверка:

Математическое ожидание:

Таким образом, .

Дисперсия:

Можно показать, что .

Пример:

Число вызовов Х, поступающих на АТС за 1 минуту имеет пуассоновское распределение. Среднее число вызовов, поступающих за 1 минуту равно 1,5. Найти вероятность того, что за 1 минуту поступит не менее двух вызовов.

λ=1,5.

Замечание: пуассоновское распределение возникает при условии проведения опыта по схеме Бернулли, когда n , пр Так как мало, то закон распределения Пуассона часто называют законом редких явлений.