Распределение Стьюдента

Рассмотрим две независимые случайные величины: Z, имеющую нормальное распределение и нормированную (то есть М (Z) = 0, σ (Z) = 1), и V, распределенную по закону «хи-квадрат» с k степенями свободы. Тогда величина

(12.3)

имеет распределение, называемое t – распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

Распределение F Фишера – Снедекора.

Рассмотрим две независимые случайные величины U и V, распределенные по закону «хи-квадрат» со степенями свободы k ₁ и k ₂ и образуем из них новую величину

. (12.4)

Ее распределение называют распределением F Фишера – Снедекора со степенями свободы k ₁ и k ₂. Плотность его распределения имеет вид

(12.5)

где . Таким образом, распределение Фишера определяется двумя параметрами – числами степеней свободы.

Тема 19.

Полиномиальное распределение (мультиномиальное распределение) — совместное распределение вероятностей случайных величин

принимающих целые неотрицательные значения

удовлетворяющие условиям

с вероятностями

где , ; является многомерным дискретным распределением случайного вектора такого, что: (по существу это распределение является (k − 1)-мерным, так как в пространстве оно вырождено); естественным (с точки зрения современной теории вероятностей) образом обобщает биномиальное распределение и совпадает с ним при n = 2. Название «полиномиальное распределение» объясняется тем, что полиномиальная вероятность является общим членом разложения полинома (многочлена)

Традиционная интерпретация. Полиномиальное распределение появляется в так называемой полиномиальной схеме случайных экспериментов: каждая из случайных величин ξ _j —это число наступлений одного из взаимоисключающих событий , при повторных независимых экспериментах. Если в каждом эксперименте вероятность наступления события x_j равна p_j, то полиномиальная вероятность равна вероятности того, что при n экспериментах события наступят раз соответственно. Каждая из случайных величин ξ _i имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием np_i и дисперсией np_i (1 − p_i).

Эвентологическая интерпретация. Проводится n случайных экспериментов. В результате каждого (i -го) эксперимента наступают события из множества: состоящего из k непересекающихся событий, образующих разбиение Ω и наступающих соответственно с вероятностями (), которые не меняются от эксперимента к эксперименту. Такая схема проведения экспериментов называется полиномиальной схемой испытаний.

Случайный вектор , составленный из случайных величин

равных сумме индикаторов событий , наступающих с вероятностью p_j, и интерпретируемых как число событий из

наступающих в результате n независимых случайных экспериментов, подчиняется полиномиальному распределению с параметрами

т.е. полиномиальная вероятность — это вероятность того, что

где

Случайный вектор имеет математическое ожидание и ковариационную матрицу , где

Ранг матрицы B равен k − 1 в силу того, что .

Характеристическая функция:

При распределение случайного вектора с нормированными компонентами

стремится к некоторому многомерному нормальному распределению, а распределение суммы

которая используется в математической статистике при построении χ²-критерия, стремится к χ²-распределению с k − 1 степенями свободы.

Тема 20. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.