2015-04-23
241
Тема 11. Системы дифференциальных уравнений
Система вида 
(11.1)
где функция 
определена в некоторой (n+1)-мерной области D переменных 
называется нормальной системой n-дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями 
.
Число уравнений, входящих в систему (11.1), называется ее порядком.
Решением системы (11.1) в интервале 
называется совокупность функций 
непрерывных дифференциальных в и обращающих вместе со своими производными каждое уравнение системы (11.1) в тождество.
Общим решением системы (11.1) называется совокупность n функций 
зависящих от n произвольных постоянных 
и удовлетворяющих следующим условиям:
1) функции 
определены в некоторой области изменения переменных 
и имеют непрерывные частные производные 
2) совокупность является решением системы (11.1) при любых значениях 
3)для любых начальных условий (11.2) из области D, где выполняются условия теоремы Коши, всегда найдутся единственные значения произвольных постоянных 
что будут справедливы равенства 
.
|
|
|
Задача Коши для системы (11.1) имеет следующую формулировку: найти решение системы (11.1), удовлетворяющее начальным условиям: 
(11.2)
где 
– заданные числа; 
.
Частным решением системы (11.1) называется решение, полученное из общего при некоторых частных значениях произвольных постоянных 
.
Все выше указанное справедливо и для частного случая системы (11.1):
(11.3)
где 
непрерывные в (a;b) функции. Если 
то система (11.3) называется однородной, в противном случае – неоднородной.
Если 
то система (11.3) называется линейной с постоянными коэффициентами.
Существуют методы, позволяющие проинтегрировать систему (11.3).
